利用构造函数的思想探究罗尔定理的一些应用.docVIP

利用构造函数的思想探究罗尔定理的一些应用 　　摘要:罗尔定理在一元微分学处于很重要的地位,本文通过构造函数的思想来探究罗尔定理的应用。 　　Abstract: Rolles theorem plays a very important part in the study of one differential calculus. This paper attempts to explore the application of Rolle’s theorem from the perspective of constructing function. 　　关键词:罗尔定理;构造函数;连续;可导 　　Key words: RollTheorem;constructingfunction;continuous;derivatives 　　中图分类号:O1-0 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)31-0140-02 　　 　　1知识准备 　　罗尔定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(b)=f(a),则在(a,b)至少存在一点ξ使下式成立: 　　f′(ξ)=0 　　2如果有条件f(x)在一个端点上的值为 0,并且证明的等式有自然数m和n,则要借助fm和fn构造辅助函数 　　例1:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)?酆0,x∈(a,b),f(a)=0则对任意自然数m和n,存在x1∈(a,b)和x2∈(a,b)使= 成立。 　　证明:令g(x)=fn(x)fm(x)(a+b-x),因为f(a)=0则g(a)=g(b)=0 　　由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使g′(ξ)=0 　　即nfn-1(ξ)fm(a+b-ξ)f′(ξ)-mfn(ξ)fm-1(a+b-ξ)f′(a+b-ξ)=0 　　令ξ=x1,a+b-ξ=x2 　　整理得:= 　　命题得证。 　　又如:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(b)=f(a)=0,f(x)?酆0,(x∈(a,b))则对任意的自然数n,存在ξ∈(a,b),使nf′(ξ)+f(ξ)=0成立。 　　令g(x)=fn(x)ex,即可得证。 　　3如果在要证明的等式中同时出现函数及其导数,可以想函数ex的特性(ex)′=ex,应用罗尔定理的时候ex可以约去,在这里只起辅助作用 　　例2:若函数f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2)=0,则存在ξ∈(x1,x2)使f(ξ)+f′(ξ)=0。 　　证明:令g(x)=f(x)ex,由于,f(x1)=f(x2)=0可知g(x1)=g(x2)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(x1,x2)使g′(ξ)=0,即,因此,即可证明。 　　例3 若函数f(x)及g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(b)=f(a)=0则存在ξ∈(a,b)使f′(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0 　　证明:令p(x)=f(x)eg(x),f(b)=f(a)=0可知p(b)=p(a)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使p′(ξ)=0, 即f′(ξ)eg(ξ)+f(ξ)eg(ξ)g′(ξ)=0 　　因为eξ≠0,即可证明。 　　另外如:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(b)=f(a)=0则对任意自然数n,存在ξ∈(a,b),使f′(ξ)+nf(ξ)=0 　　这是例2的特殊情况,令g(x)=enx,即可证明。 　　4利用不定积分法构造辅助函数 　　例4:设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且对任意的x∈(a,b)有g′(x)≠0,证明: 　　①对于[a,b]上任意不同的两点x1及x2有g(x2)-g(x1)≠0。 　　②至少存在一点ξ∈(a,b),使= 　　分析:要证明的②属于中值ξ的存在性,要证的结论中的ξ换成x且变形为[f(x)-f(a)]g′(x)=[g(b)-g(x)]f′(x) 　　积分得[f(x)-f(a)]g′(x)dx=[g(b)-g(x)]f′(x)dx 　　上式左端用分部积分法,右端拆成两个积分,得: 　　 [f(x)-f(a)]g(x)-g(x)-f′(x)dx=g(b)f′(x)dx-g(x)-f′(x)dx 　　从而得[f(x)-f(a)]g(x)=g(b)f′(x)dx 　　故[f(x)-f(a)]g(x)=g(b)f(x)+C 　　取C=0,并移项,使等式右端为零,等式左端就是所构造的辅助函数。 　　证明:(1)由题设知,函数g(x)在以x1和x2为端点的闭区间上满足拉格朗日中值定理的条件,