平面问题三角形单元有限元课件.ppt

1.7.2 整体刚度矩阵 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有： (1-47） 上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的1/3。 （2）均布面力 i j m 图1-10 x y qs 单元边界上作用了均匀的分布力，如图1-10所示，其集度为?qs?。 (1-46） (1-21） 根据式(1-46）、(1-21）和(1-22） ① 计算式 注意到形函数性质4 ： (1-23） 得 (1-48） (1-22） 均匀分布力的等价节点力为 式(1-48）表明：在ij边上受均布面力的平面问题三角形单元，其等价节点力等于将均布面力合力之半简单地简化到i、j节点上，方向与分布力方向相同。m节点上为零。 (1-48） i j m x y qsx Fs1 Fs3 i j m x y qsy Fs2 Fs4 （3）线性分布面力 i j m 图1-11 x y s 表面力集度在i点为[qsx qsy]T，而在j点为0。设坐标轴s的原点取在j点，沿ji为正向， ij边上任一点的面力集度?qs? s qsi qs i j m 图1-12 x y s l 在ij边上有： 将?qs?和上式代入式(1-46），有 由形函数的性质3： (1-49） 式(1-49）表明：ij边受线性分布面力： i点为[qsx, qsy]T，j点为0 时，其等价节点力可将总载荷的2/3分配给i点，1/3分配给j点，m点为零得出。 x y i j m qsi qs 体积力和表面力向节点的移置符合静力等效原理的前提条件是：线性位移模式。 1.7 系统分析 1.7.1 坐标系 研究各离散单元集合成整体结构，集合整体结构的平衡和变形协调，建立整体结构平衡方程。 单元分析时采用的坐标系成为局部坐标或单元坐标（单元刚度矩阵的通用性）。而结构系统分析时，必须在统一的坐标系内进行（各力学量才能叠加），称为“结构坐标”或“整体坐标”，如图1-13所示。 单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为： 整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为： X Y X Y P ○ ○ ○ ○ ○ P 图（1-13） (a) 平面桁架(杆件单元) 悬臂深梁 (平面三角形单元) x y x y x y x y 将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将[k]、{δ}、{F}体积膨胀，分别扩大为n1×n1、n1×1和n1×1的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的元素不变，而其它元素均为零。 由于???和???T是常量，提到积分号外，上式可写成 引入矩阵符号[k]，且有 (1-33a） 式(1-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注意到其中hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得计算[k]的一般式。 (1-33） 式(1-33）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元[k]的一般式。 dv 1.6节中将明确[k]的力学意义是单元刚度矩阵。式(1-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。 单元应变能写成 (1-34） 2、 单元外力势能 单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。 (1-33） （1） 体积力势能 单位体积中的体积力如式(1-35）所示。 单元上体积力具有的势能Vv为 (1-35） i j m x y · qVx qVy i j m x y · u v 注意到式(1-20） 有 (1-20） （2） 表面力势能 面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力，但它们属于结构内力，成对出现，集合时互相抵消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析时也就不予考虑。 现在，只考虑弹性体边界上的表面力，它只在部分单元上形成表面力（右下图）。设边界面上单位面积受到的表面力如下式： l—单元边界长度 h—单元厚度 A—表面力作用面积 ① ② ③ ④ ?qs? ?qs?沿厚度均匀分布，则单元表面力的势能Vs为 （3） 集中力势能 当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力?Pc?的势能Vc为 p ① ② ③ ④ ③ ??? ③ p/2 ??C? （4）总势能 把(1-35）式中原括符内的部分用列阵?Fd?