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初等数论讲义 张起帆 1 唯一分解定理 7 第一讲 唯一分解定理的证明及简单应用7 1.1 带余除法7 1.2 同余语言的引进8 1.3 唯一分解定理及证明8 1.4 应用举例9 1.5 进一步的思考10 第二讲 一些数论问题10 1.6 Eratosthenes 筛法10 1.7 一次不定方程 11 1.8 Fermat 数与Mersenne 数 12 2 同余式 13 第三讲 周期问题 13 2.1 同余的概念及基本性质 13 2.2 周期 14 第四讲 孙子定理及应用 15 2.3 Wilson 定理 15 2.4 孙子定理 15 2.5 Euler 函数的计算 17 第五讲 高次同余方程18 2.6 解同余方程的一般原则18 2.7 模素数幂的同余方程 19 2.8 模素数的同余方程 20 3 原根与二次剩余 23 第六讲 模p 的原根 23 3.1 原根的存在性 23 3.2 原根的判别准则 24 3.3 二次剩余和勒让德符号25 3 4 CONTENTS 第七讲 二次互反律 26 3.4 Gauss 引理 26 3.5 二次互反律的证明 27 3.6 推广的二次互反律 28 3.7 特殊的二次同余方程的解 29 第八讲 素数表平方和问题30 3.8 素数表平方和主要定理 31 3.9 Gauss 整数的算术 32 3.10 Gauss 整数的应用33 3.11 小结34 第九讲 模m 的原根34 3.12 模m 的原根存在的条件35 3.13 指数37 3.14 公钥密码应用38 第十讲 群，环，域理论简介（上）38 3.15 群的概念及例子38 3.16 似曾相识的群理论40 3.17 基本的群论定理41 第十一讲 必备的抽象代数（下）42 3.18 环和域的概念及例子42 3.19 环的算术性质44 3.20 理想的运算45 3.21 域的 “熟知”定理46 4 数论函数