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初等数论讲义林.pdf
1.
..
. N*,N,(Z,Q ,Z[ω],H,Q,R,C,Q[ω]),(Z ,Z ),
m m p
(I[x],K[x],),(K(x),),.
(a|b,a | b,,,ε,,,,,).
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,(a ,…,a ),,[a ,…,a ].,.
1 n 1 n
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1.().
(,),.
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Archimedes
2..
(,,).0 ,.
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gcd (,,,,).
.
1.:a,b Z,b 0,q,r Z b=qa+r. 0 r|b|.
:Z,Z[i],Z[ω],F[x].φ(a)=|a||a|2,φ(f)=degf.
1
.Z ,a 0 ,[k|a|,(k+1)|a|)Z .b .
b=k|a|+r, 0 r|a|. q=k·sgn(a).
c +di 1
Z[i] ,a+bi 0 , =x+yi (x,y Q).u,v |x u|,|y v|
a +bi 2
c+di=(u+vi)(a+bi)+ (x u+(y v)i)(a+bi).u+vi Z[i],
r=(x u+(y v)i)(a+bi)= c+di (u+vi)(a+bi) Z[i],
2 2 2 2 1 2 2
|r| =|a+bi| ((x u) +( y v) ) |a+bi| |a+bi| .
2
Z[ω], Z[ 2 ],Z[ 2 i].Z[ 3 i].
F[x] ..(Z[x]).
q,r .
gcd(a,b)=gcd(b,c).,a b c d .
r=0.
2..
I a,b,x ,y I,ax +by =gcd(a,b).
0 0 0 0
.a=b=0 .a,b 0,(x,y ){ax+by|x,y I}
.,c=ax +by .
0 0
a=qc+r.
r 0,φ(r) φ(c).r=a qc=a(1 qx )+b( qy ) I,.r=0, c|a.
0 0
c|b.c a b .,a b c=ax +by .
0 0
c=ax +by = gcd(a,b).
0 0
.a=0 (a,b)=b=0·a+1·b,a|b (a,b)=a=1·a+0·b. a 0 a |b,b,a
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