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2 中等数学 利用不变量原理解数论问题 杨晓呜 (浙江大学出版社，310028) 中图分类号：0157文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2014)09一o002一04 (本讲适合高中) 在解决数学问题时，通过运用一些解题策略 数，即其奇偶性是一个不变量，因此，解决问题的 可以迅速找到解决问题的方法，其中，利用不变量 思路显而易见． 原理就是一种重要的解题策略…。 将方程变形为 所谓不变量原理，是指当某一个运算反复进 行时，有些量是不发生变化的．如果有这样的量存 =2×2003． 在，就可以利用不变量原理解决问题．常见的不变 量有奇偶性不变量、同余不变量、代数式(和、差、 则瞪蔫l(’y叫：叱叫：：4嘶；① 积、平方和等)不变量等∽J． 或i(名一y)：+(y—z)：+(戈一z)z：2．或(：二二茄i篡：，：+。戈叫：乏 ②② 1奇偶不变原理 由方程组①得 例1设正整数n为奇数，在黑板上写出数 006 1，2，3，…，2n，然后取任何两个数口、6，擦去这两 j 006 6戈2+6y2+6夏y一6戈一6y+2=4 个数并写上I口一6I．证明：最后留下的是一个 j 2兰4(mod6)， 奇数． 矛盾． 证明设S为黑板上所有数的和． 开始时，和数 为1，一个为0． S：l+2+…+2孔=昆(2n+1)(奇数)． 所以，满足条件的三元整数数组为 因为每一步使．s减小2min(o，6)(偶数)，所 以，S的奇偶性是一个不变量．在整个化简过程中 (667，668，668)． 总有S兰l(mod2)． 2变量总和不变 因此，最后的结果是一个奇数． 例2求所有的三元整数数组(z，)，，z)使得 例3 正五边形的每个顶点均写有一个整 003． 戈3+v3+z3—3戈竹=2 数，使得五个整数之和为正数．若其中三个连续顶 (2003，北欧数学竞赛) 点对应的数z、)，、z中，)，0，则可以进行如下操 解方程的左边是一个熟知的模型，即 戈3+)，3+z3—3妒 个数中还有负数这种操作就能继续进行．问：这种 =(咒+y+z)(戈2+)，2+三2一形一弘一磁)． 操作进行若干次之后是否一定终止? 注意到， (1986，IMO) (戈一)，)2+()，一二)2+(戈一z)2 解注意到，操作过程中五个数的总和不变． =2(戈2+y2+z2一形一弘一杞)