利用交替投影算法求解矩阵方程AXB=C的广义中心对称解.pdfVIP

应 用 数 学 MATHEM ATICA APPLICATA 2O15。28(1)：143—148 利用交替投影算法求解矩阵方程 AXB = C的广义 中心对称解 徐宜营，谢冬秀 (北京信息科技大学理学院，北京 100192) 摘要：利用交替投影算法求解矩阵方程 AXB= C的广义 中心对称解，当矩阵方程 AXB ：C不相容时，利用Dykstras交替投影算法来求其广义中心对称解的最佳逼 近 ，数值结果表 明该方法是行之有效的． 关键词 ：广义中心对称矩阵；交替投影算法；DykstraS交替投影算法 中图分类号 ：O241．6 AMs(2000)主题分类：15A24；65F30 文献标识码 ：A 文章编号 ：1001—9847(2O15)01—0143—06 1．引言 定义 1E 若存在 ，z阶可逆方阵P ER ”，A一 (d)ER舣”，满足 P 一 J，P ≠± ，A — PAP ，则称 A为广义中心对称矩阵，所有 71阶广义中心对称矩阵的全体记为GCSR ”． 现考虑求解以下具有线性约束矩阵方程 的逼近 问题的数值方法，为简单起见记 J— GCSR积”． 问题 I 给定 A ∈R卅×”，B ∈R”P，CER—P，求矩阵X ∈ 使得 AXB — C． 问题 Ⅱ 给定矩阵y∈~厂求矩阵X ∈s 使得 llX 一yII— rainllX—yll， x∈sF 其中s 是AXB—C的解集，lI·l1为Frobenius范数． 关于矩阵方程问题的研究不仅具有重要的理论意义，而且在结构设计领域，参数识别，电 力学 ，生物学，结构动力学，固体力学 ，分子光谱学 ，动态分析，非线性规划 ，自动控制理论 ，振动 理论等领域均有重要应用．现阶段求矩阵方程AXB—C约束解的方法主要分为两种 ：解析法 和迭代解法．解析法就是利用矩阵的各种分解理论，如奇异值分解 ，QR分解 ，矩阵对 的广义奇 异值分解和标准相关分解等，得出矩阵方程有解 的充要条件和通解表达式．主要研究成果有 199o年戴华 。利用广义奇异值分解得到了矩阵方程在对称矩阵集合类 中有解的条件和解的 表达式 ；2OOl一2003年邓远北 利用矩阵的标准相关分解研究了矩阵方程在对称矩阵集合类 * 收稿 日期 ：2o14—03-08 基金项 目：国家 自然科学基金 61473325)，北京市 自然科学基金 (1122015) 作者简介 ：徐宜营，男，汉族，山东人，研究方向：数值代数． 144 应 用 数 学 和反对称矩阵集合类 中的求解及其最佳逼近问题，得到了有解的条件和解的表达式．该 问题的 求解方法还可以利用迭代法求解 ，即Krylov子空间方法．主要研究成果有：彭亚新嘲等给出了 求矩阵方程AXB— C对称解的矩阵形式的共轭梯度迭代法．侯进军等，彭振贽和雷渊嘲等分 别根据共轭梯度法不同变形形式，给出了求矩阵方程AXB— C的最小二乘对称型解的一种 矩阵形式的LSQR迭代法． 本文将用新的算法来求解该 问题，即交替投影算法来求解 问题 I，利用Dykstras交替投 影算法来求解 问题 Ⅱ．到 目前为止，还没有将交替投影算法应用于求矩阵方程AXB— C的广 义 中心对称解．并且，交替投影算法比Krylov子空间方法的迭代效果要好，具有很好的收敛速 度 ，且迭代步数不随系统维数的成倍增加而成倍增加，仅是个位数的变化．综合以上几点，交替 投影算法是值得推广使用的，是可以用来解决以上两个问题的． 2．交替投影算法 若 F为实 Hilbert空间，D为F中的闭凸子集 ，X D为F 中任意点，则 D中与z最近的 点称为X在D上的投影 ，记为P。(z)．该投影点唯一且满足Kolmogorov标准L7]：PD(z)∈D， 而且对 VY∈D有 (Y—PD(z)，z—PD(z))≤ 0． 给定两子集 C和E，定义两子集之间的距离为 dist(C，E)：一infIc『—EI『：= inf(1IC—