利用阶与半阶解数论问题.pdfVIP

2 中 等 数 学 利 用 阶 与 半 阶 解 数 论 问 题 田开 斌 褚 小 光 潘 成 华 (文武光华数学工作室，310000) 中圈分类号：0156．1 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2014)05—0002—05 (本讲适合高中) (iv)若 口为m的原根，则 1，口，口，…，0 构 费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的 成模m的一组简系． 两个定理，是解决整除问题和同余问题的有力武 (5)半阶 器．同时，与这两个定理相关的阶与半阶，在解决 当m≥3，(口，m)=1时，若存在正整数 使得 某些问题时也有着强大的功能．本文简要介绍阶 口兰一1(modm)， 与半阶的概念，并通过几道例题，讲述其应用． 则将满足淡式的最小正宝兰数r称为口关于m的半阶 需要注意的是半阶不一定均存在．例如，2关 1 基础知识 于模 l5的半阶就不存在． (1)欧拉函数 半阶的性质 ： 对于任意正整数m， (m)表示不大于m且 (i)设mI3，(0，m)=1，若 口关于模m的阶 与m互素的正整数的个数． 为 ，半阶为 r，则=．【=2r； 设 m的标准分解式为 (ii)设m≥3，(口，m)=1，口关于模 m的半阶 m =PlP2…p 为r，若正整数t使得 口三‘一1(modm)，则t为r 的奇数倍． 则cm=m(·一)(·一)．．，(一)． 2 例题选讲 (2)欧拉定理 若 (a，m)=1，则 a 三1(modm)． 例 1 设m ∈Z+．若 (2 +1)l(3 +‘1)， (3)费马小定理 证明：2 +1是素数．[ 若P为素数 ，且(n，P)=1，则 ～ (2003，韩国数学奥林匹克) E1(roodP)． 证明 根据条件知 (4)阶数与原根 3 兰‘一1(mod2 +1) 当(n，m)=1时，则存在最小的正整数 使得 ． 口兰1(modm)， 所以，3 一1(mod2 +1)． 称 为 0关于m的阶数． 设3关于模 2～ +1的阶数为 ． 显然 ，≤ (m)． 则 I2 ，且 I(2 +1)． 若 = (m)，则称0为m的原根． 若 =2(．j}≤m)，则 阶数的性质 ： 3 兰(3