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2015年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学 2015年9月30日 意琦行 数海拾贝 一、填空题 1、对抛物线y2 = 2√2x ，若设其焦点为F ，准线上一点为P ，y 轴 上一点为 N ．若 ∠NPF = 90∘ ，则N 点的纵坐标为_______． 1 1 1 2、 + + ⋯ + −−− −−− = ______． √1 + √2 √2 + √3 √255 + √256 n 1 +∞ (−1)i+2 3、若已知 lim (∑ − ln n) 存在，则 ∑ = _______． n→+∞ i=1 i i=0 i + 1 4、在边长为 1 的正方形中（含边界）取 9 个点，其中必有 3 个点，它 们构成的三角形面积不超过_______． 5、某人打靶打中 8 环、9 环、10 环的概率分别为0.15 、0.25 、 0.2 ，现他开三枪，不少于28 环的概率为_______． 二、解答题 6、若对任意实数x, y ，有f ((x − y)2 ) = (f (x))2 − 2x ⋅ f (y) + y2 ， 求 f (x) ． −−−−− √2 − 1 7、求所有a, b ，使 ∣√1 − x2 − ax − b∣ ⩽ 成立，其中 ∣ ∣ 2 x ∈ [0, 1] ． 8、若复数 满足 ，求 ∣ 3 ∣2 的最小值． z |z | = 1 ∣z − z + 2∣ 9、已知三次方程x3 + ax2 + bx + c = 0 有三个实根． （1）若三个实根为 ，且 ， 为常数，求 x , x , x x ⩽ x ⩽ x a, b c 1 2 3 1 2 3 变化时 x3 − x1 的取值范围； （2）若三个实根为a, b, c ，求a, b, c ． 参考答案 一、填空题 1、2     提示：斜边NF 的中点M 在抛物线上，坐标为 (√2 , 1) ． 4 2、 15 3、ln 2 1 4、 8 提示：如图． 5、0.0935 二、解答题 6、f (x) = x ∨ f (x) = x + 1 提示：令 x = y 得 2 f (0) = (f (x) − x) , 再令 x = 0 可得 f (0) = 0 ∨ f (0) = 1 ． √2 + 1 7、  a = −1 ∧ b = 2 [ π ]