勤径考研_智轩考研数学第七专题讲座--反常积分的判敛与计算方法.pdfVIP

勤径智轩考研数学 2011 基础班讲义系列 http://bbs.qinjing.cc 反常积分的判敛与计算方法 一、 反常积分的几何意义 反常积分存在时的几何意义：函数与X 轴所围面积存在有限值时，即便函数在一点的值发散，也 可能不会导致面积的发散。 a dx 1 例如 ò0 2 2 (a 0) 的几何意义是：位于曲线y = 2 2 之下，x 轴之上，直线x = 0 与 a - x a - x 1 x =a 之间的图形面积，而x =a 点的值虽使y = 发散，但面积可求。 2 2 a - x 反常积分主要是要考虑某一点的积分存在性，而定积分的计算与某一点的值无关，这是两类积分的根 1 dx 本区别，比如ò-1 ¹ 0 。 x 二、反常积分的两种类型 +¥ c b a a 无穷区间的反常积分 f (x )dx = lim f (x )dx + lim f (x )dx ¹ lim f (x )dx ( ) ò-¥ a®-¥ òa b®+¥òc a®¥ ò-a b 无界函数的反常积分，又称瑕积分 （每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点分区间积分） ( ) òb f (x )dx = lim òb-e f (x )dx (f (x )右端点无界) a e®0- a òb f (x )dx = lim òb f (x )dx (f (x )左端点无界) a e®0+ a+e ò+¥ f (x )dx = lim òc-e f (x )dx + lim ò+¥ f (x )dx (f (x )区间内点无界) a e®0+ a e®0+ c+e 其中：x ®-b或+a Þ f (x) ®¥ 评 注 如果反常积分为上述两类的混合型，则拆分积分区间，使原积分为无穷区间和无界函 数两类单独的反常积分之和。 三、反常积分的敛散性判断方法与结论 反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或去穷大的比阶问题。首先要记住两类反 +¥ 常积分的收敛尺度：对第一类无穷限 f x dx 而言：当x ®+¥ ，f x 为无穷小，并且无穷小 òa ( ) ( ) b 的 阶次不能 低于 某 一 尺 度 ， 才能 保证收 敛 ； 对第二类 无界函 数 f x dx 而言 ：