专题一第四讲导数及其应用.ppt

-2 a－1 [1，＋∞) 40 * a－1 [1，＋∞) 4 第4讲　导数及其应用 感悟高考 明确考向 (2010·北京)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4. (1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． 解　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d， 得f′(x)＝ax2＋2bx＋c. 因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4， 所以(*) (1)当a＝3时，由(*)式得 解得又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)． 由得1≤a≤9， 即a的取值范围是[1,9]． 考题分析 本题主要考查了函数的导数、函数的解析式以及函数的极值点的概念．考查了换元消元的解题方法以及转化与化归、函数与方程的数学思想方法．题目难度不大，特点鲜明． 易错提醒 (1)构建不出关于a、b、c的方程组． (2)搞不清“f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”与“f′(x)≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”的等价关系． (3)易忽视条件a0的应用． (4)想不到换元方法，消不去b、c. (5)计算错误. 主干知识梳理 1．导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈N*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ③[]′＝(v(x)≠0)． (3)复合函数求导 复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)． 3．函数的性质与导数 (1)在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增； 在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f′(x)； ②求f′(x)＝0的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)． 热点分类突破 题型一　导数几何意义的应用 例1 已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．利用导数的几何意义确定曲线在某点处的切线斜率，进而使问题获解． 解　(1)∵y′＝－. 又P(1,1)是曲线上的点， ∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)． 即y＝－x＋2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，则可设过该点的切线的切点为A(a，)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1,0)代入方程①得0－＝－(1－a)， 解得a＝，故所求切线方程为y＝－4x＋4. (3)设切点坐标为A(a，)，则切线的斜率为 k2＝－＝－. 解得a＝±，∴A(，)或A′(－，－)． 代入点斜式方程得y－＝－(x－)或 y＋＝－(x＋)． 即切线方程为x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0. 变式训练1 在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A