线性代数公式归总.doc

同济5版 工程数学—线性代数 公式归总 第1章、行列式 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 逆序数的计算（奇、偶排列）； 对换：（在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．） 　a. 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数． b. 如果1个n阶行列式=0的元素比-n还要多，则此行列式=0； 证明两个行列式相等（1.有完全相同的项；2.每一项所带的符号相等）； 在全部n阶排列中（n=2），奇偶排列各占一半； 7. ； ； ； 余子式与代数余子式P16-21； 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ; 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ； 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 12.代数余子式和余子式的关系： 13.设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 14.行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 15.范德蒙德(Vandermonde)行列式② ③④ ⑤ 、矩阵 两张表 a表 矩阵加法 数乘矩阵 矩阵乘法 定义 ，是一个数 ，其中 交换律 不一定成立（课本P.35例5） 结合律 分配律 / 其它 负矩阵与矩阵减法 / 不能由推出或 方阵的幂 b表 矩阵的转置 方阵的行列式 方阵求逆 定义 设，则 ，其中 由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），记作或 阶方阵的逆矩阵 性质 ，其中、必为同阶方阵 2.是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 伴随矩阵 若 是 阶矩阵,记 是 的 位元素 的代数 余子式,规定的伴随矩阵为 3.对于阶矩阵： 无条件恒成立； 4. 5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 6.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆： 若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 第3章、矩阵的初等变换与线性方程组 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：； ④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：； ⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：； 矩阵秩的基本性质： ①、； ②、； ③、若，则； ④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、；（※） ⑥、；（※） ⑦、；（※） ⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※） Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 ⑨、若、均为阶方阵，则； 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：； 注：Ⅰ、展开后有项； Ⅱ、 Ⅲ、组合的性质：； ③、利用特征值和相似对角化： 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：； ②、伴随矩阵的特征值：； ③、、 关于矩阵秩的