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第 二 章 波函数与薛定谔方程 学习内容 学习要求 §2.1 波函数的统计解释 1．微观粒子状态的描述 2．波函数的统计解释 3．波函数的归一化条件 补充作业题 §2.2 态叠加原理 1.电子双缝衍射实验 2．态迭加原理 3．电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数 §2.3 薛定谔方程 1．微观粒子运动方程应具有的特点 2．自由粒子的运动方程 3．势场中运动粒子的Schr?dinger方程 §2.4粒子流密度和粒子数守恒定律 1．几率守恒定律 2．电荷守恒定律，粒子数守恒 3．波函数的标准条件 §2.5 定态薛定谔方程 1．定态，定态波函数 2．定态Schr?dinger方程 3.Hamilton算符和能量本征值方程 4.求解定态问题的步骤 5．定态的性质 思考题 §2.6 一维无限深势阱 1．定态Schr?dinger方程 2．定态Schr?dinger方程的解 3．粒子的定态波函数 4．几率幅与几率密度曲线图 5.宇称 讨论 §2.7 线性谐振子 1. Schr?dinger方程 2. 方程的求解 3. 线性谐振子的能量本征函数 4. 线性谐振子的本征能量 讨论 §2.8 势垒贯穿 1. 定态薜定谔方程 2. 方程的求解 3. 透射系数和反射系数 讨论 4.应用实例 第二章 小结 作业 在 处，有一极小值 。在 附近，势可以展开成泰勒级数： a x V(x) 0 V0 记 若取 ，即平衡位置处于势 点；并记 ，则 §2.7 线性谐振子（续2） Hamilton operator 定态Schr?dinger方程： （1） 改写成 令 （ 为待定常数） （2） （3） §2.7 线性谐振子（续3） 于是方程（2）可写成 （4） 当 时，方程（4）的渐近形式为 （5） 方程（5）在 处的有限解为 令方程（4）的解 （6） 代入方程（4）可得 满足的微分方程 §2.7 线性谐振子（续4） 本征函数: 用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（7）满足有限性条件（8）的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值： (8) （称为厄密方程） (7) (9) 称为厄密多项式 §2.7 线性谐振子（续5） 厄密多项式的微分形式 积分公式 (10) 几个厄密多项式： §2.7 线性谐振子（续6） 由归一化条件 (11) 并运用积分公式： 求得归一化常数 (12) (13) 归一化的本征函数 §2.7 线性谐振子（续7） 本征波函数 (14) 由(2)和(9)式,即由 和 得本征能量: (15) §2.7 线性谐振子（续8） 1 能量的本征值： （1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为 （2）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的，每个能级的简并度为1（一能级对应的量子态数称为该能级的简并度） （3）基态能量： （又称零点能） 零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的” 波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实 。 §2.7 线性谐振子（续9） 基态能量： 基态本征函数： 2. 基态 在 处的势能： 在 范围内动能 由几率密度 看出,粒子在 处出现的几率最大；在 范围内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的波函数可作类似的分析。 §2.7 线性谐振子（续10） 在经典情形下，粒子将被限制在 范围中运动。这是因为振子在 处，其势能 ，即势能等于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在 内。 可见，量子与经典情况完全不同。 3. 具有 宇称 §2.7 线性谐振子（续11） 上式谐振子波函数所包含的 是 的偶函数，所以 的宇称由厄密多项式 的宇称决定。 由于 的最高次项是 。当 偶数，则厄密多项式只含ξ的偶次项(偶宇称)； 当 奇数，则厄密多项式只含ξ的奇次项(奇宇称) 。所以, 具有 宇称 4．本征函数与几率密度 §2.7 线性谐振子（续12） §2.7 线性谐振子（续13） n=10时谐振子的几率密度 从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 §2.7 线性谐振子（续14） 势垒贯穿是能量为E的粒子入射