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第二章 第二节 一维随机变量的数学期望 §2.2 数学期望(mathematical expectation) 一．数学期望的定义（mathematical expectation） 例 1 例 1（续） 离散型随机变量的数学期望 说 明 说 明 关于级数理论的补充 关于级数理论的补充 连续型随机变量的数学期望 说 明 例 2 例3 例 4 例 5 例 6 二．一些常见随机变量的数学期望 例 7（Bernoulli分布的数学期望） 例 8（二项分布的数学期望） 说 明 例 7（Poisson分布的数学期望） 例 10（几何分布的数学期望） 例11（均匀分布的数学期望） 例 12（指数分布的数学期望） 三．数学期望的性质 数学期望的性质一 数学期望的性质二 数学期望的性质三 数学期望的性质四 数学期望的性质四 说 明 例13 例14 例14（续） 例15 例16 说 明 例19 例19（续） * * 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： ：甲命中环数； ：乙命中环数． 试问甲、乙两人哪一个射击水平较好． 解： 比较两个人的射击水平，我们可以用他们的平均环数．假设两人各打了枪，由甲的射击水平分布律可知，在这枪中，大约有枪命中环；大约有枪命中环；大约有枪命中环．因此甲的平均环数为 （环）． 同理，乙的平均环数为 （环）． 因此，从平均环数上看，甲的射击水平较好． 注意：在上面的计算中，我们首先假定两人各打了枪，但是在计算中，其结果与没有关系．即 ； ． 设是离散型随机变量，其分布律为 ． 如果级数绝对收敛（即级数收敛），则称级数为随机变量的数学期望，记作，即 ． ⑴ 随机变量的数学期望也称为均值，或简称为期望． ⑵ 随机变量的数学期望刻画了变化的平均值． ⑶ 随机变量的数学期望由的分布唯一确定． ⑷ 对于离散型随机变量来讲，只有当级数绝对收敛时，的数学期望才存在，如果级数不绝对收敛，不管它是发散还是条件收敛，的数学期望都不存在．换句话讲，并非所有的离散型随机变量都有数学期望． ⑸ 如果离散型随机变量仅取有限个值，则一定存在． ⑹ 由于随机变量的数学期望表示的是的平均值，因此它应当与级数的求和顺序无关，而对于无穷级数来说，只有其绝对收敛时，和才与其求和顺序无关． 设是一个收敛级数，我们将该级数的各项进行重新排列，既不增加其项，也不减少其项．我们称重新排列后的级数为级数的重排级数． 问题： ⑴ 如果级数收敛，则其重排级数是否还收敛？ ⑵ 如果重排级数收敛，其和是否等于？ 对于上述两个问题，我们分别对的绝对收敛与条件收敛，有着不同的结论． 结论一（Cauchy定理） 如果级数绝对收敛，则其任意一个重排级数也收敛，而且其和不变． 结论二（Riemann定理） 如果级数条件收敛，则对任意事先指定的实数，或者，或者，都存在的一个重排级数，使得收敛到实数，或者，或者． 例如，级数条件收敛，其和为，即，但是其重排级数 设是一个连续型随机变量，其密度函数为．如果积分绝对收敛（即积分收敛），则称积分为随机变量的数学期望，记作．即 ． 如果连续型随机变量仅在有限区间上取值，则其数学期望必存在． 袋中有号球只，现从中摸出一球，试求所得号码的数学期望． 解： 的取值为，并且 ． 所以， ． 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．现从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的数学期望． 解： 的取值为，并且 ，， ，． 所以，． 设随机变量的概率密度为 ． 解： ． 设随机变量服从Cauchy分布，其密度函数为 ． 由于 ． 这表明积分不收敛，即积分不绝对收敛．因而数学期望不存在． 设随机变量，其分布列为 ． 因此， ． 即 设（常数），则 ． 注意：这里（常数），是指： ． 设，则的分布列为 ． 作变换，则有 ⑴ 以上计算表明：如果，则 ． ⑵ 上面的计算主要用到了组合计算公式，计算比较麻烦，我们将在后面给出一个比较简单的计算方法． 设随机变量服从参数为的Poisson分布，其分布律为 ． 则 作变换，则有 ． 即 ． 设随机变量服从参数为的几何分布，其分布律为 ，． 则． 考虑幂级数，其收敛域为，在其收敛域内幂级数可以逐项微分，有 ．因此， ． 设随机变量服从区间上的均匀分布，其密度函数为 ． 则 ．