GT一维随机变量及其分布.pptVIP

第二章 第一节 随机变量及其分布 第二章随机变量及其分布(random variable and its distribution) §2.1 随机变量及其分布 一．随机变量的概念 例 1 例 1（续） 我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1，2，3． 因此， X 是一个变量． 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量． X 的取值情况可由下表给出： 例 1（续） 例 1（续） 随机变量(random variable)的定义 说 明 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 说 明 在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量． 例 7 二．随机变量的分布函数 分布函数(distribution function)的定义 说 明 分布函数的性质（一） 分布函数的性质（一）的证明 分布函数的性质（二） 分布函数的性质（二）的证明 分布函数的性质（二）的证明 分布函数的性质（二）的证明 分布函数的性质（三） 分布函数的性质（三）的证明 分布函数的性质（三）的证明 分布函数的性质（三）的证明 分布函数的性质（三）的证明 分布函数的性质（三）的证明 分布函数的性质（三）的证明 说 明 上述三条性质是分布函数的最基本的性质，即任何随机变量的分布函数都具有这三条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一一元函数具有这三条性质，那么，它一定是某一随机变量的分布函数，即． 说 明 说 明 分布函数的重要性质 分布函数的重要性质的证明 分布函数的重要性质的证明 例：用分布函数计算某些事件的概率 例：用分布函数计算某些事件的概率 例：用分布函数计算某些事件的概率 例 8 例 8（续） 例 8（续） 例 9 例 9（续） 三、离散型随机变量(discrete random variable) 离散型随机变量的定义 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列 说 明 离散型随机变量分布列的性质 例 10 例 11 例 12 例 13 离散型随机变量的分布函数 例 14 例 14（续） 例 15 例 15（续） 例 15（续） 四、连续型随机变量 (continuous random variable) 连续型随机变量(continuous random variable)的定义 说 明 一个重要公式 一个重要公式（续） 连续型随机变量密度函数的性质 注 意 连续型随机变量的一个重要特点 说 明 由连续型随机变量的上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心的不是它在某些个别点上的取值问题（因为它在每一个个别点上取值的概率全为0！）．我们关心的是它在某一区间上取值问题．这正是两类随机变量在处理上的差异所在！ 说 明 例 16 例 16（续） 例 17 例 17（续） 连续型随机变量的分布函数 说 明 由上面的公式可知，连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系，可以认为是原函数与导函数之间的关系． 例 18 例 19 例 19（续） 例 19（续） * * 样本点 黑球数X 样本点 黑球数X 3 1 2 2 2 2 2 1 2 1 设是一个随机变量，则对于任意的实数， 都是随机事件，因而其概率存在．并且这个概率是的函数，我们称此函数为随机变量的分布函数，记作，即 ． 袋中有3只黑球，2只白球．从中任意取出3只球，观察其中的黑球个数． 我们将3只黑球分别记作1、2、3号，2只白球分别记作4、5号，则该随机试验的样本空间为 由上表可以看出，该随机试验的每一个可能结果（样本点）都对应随机变量的一个确定的取值，因此随机变量是样本空间上的函数： ． 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来描述随机事件．例如， 表示取出2只白球这一随机事件．而 表示至少取出2只白球这一随机事件． 设是一个随机试验，是其样本空间．我们称样本空间上的函数 为一个随机变量，如果对于任意的实数，集合 都是随机事件． ⑴ 随机变量常用大写的英文字母或用希腊字母等来表示；而用小写的英文字母来表示它的取值． ⑵ 对于随机变量，它的“定义域”是很清楚的，就是样本空间．我们最关心的是它的“值域”，即它的取值范围，或者说它可能取到什么值． ⑶ 我们设立随机变量，就是要用随机变量的取值来描述随机事件． 掷一颗骰子，令 ：出现的点数． 则就是一个随机变量．它的所有可能取值为 ． 而表示“掷出4点”这一随机事件；表示“掷出的点数不超过4”这一随机事件；表示“掷出的点数至少为4”这一随机事件；表示“掷出偶数点”这一随机事件． 一批产品有50件，其中