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第一章 第五节 条件概率 §1.5 条件概率 一. 条件概率的概念与计算 例 1 例 1（续） 例 1（续） 条件概率的定义 条件概率计算公式 条件概率计算公式 条件概率的性质 例 2 说 明 例 3 例 4 例 4（续） 二.概率的乘法公式 两个事件的乘法公式 多个事件的乘法公式 例 5 例 6 例 6（续） 三.全概率公式 全概率公式 全概率公式的证明 全概率公式的证明（续） 全概率公式的使用 例 7 例 7（续） 例 8 例 8（续） 四. Bayes公式 Bayes公式 Bayes公式的证明 Bayes公式的使用 例 9 例 10 例 10（续） 例 11 例11（续） * * 设随机事件及随机事件满足下列条件： ⑴ ； ⑵ 两两互不相容； ⑶ ， ． 则当时，有 袋中有4个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4号，每次从袋中取出一个球，有放回地取两次．则该试验的样本空间为： 其中表示第一次取出号球，第二次取出号球． 设， ， 则 因此事件的概率为，． 现在我们考虑在事件发生的条件下，事件发生的概率，我们记此概率为． 由于已知事件已经发生，则该试验的所有可能结果为 ， 这时，要求的是事件是在事件已经发生的条件下的概率，从上面的分析中，此概率为 ． 注意：1．由此例可以看出，事件在“事件已经发生”这个附加条件下的概率与没有附加这个条件的概率是不同的． 2．由于两个概率不一样，我们有必要引入下面的概念． 设、是某一随机试验中的两个随机事件，且 ， 则称事件在“事件已经发生”这一附加条件下的概率为“在事件已经发生的条件下，事件发生的条件概率”，简称为事件在事件发生的条件下的条件概率，记为 ． 在例1中，我们已经求得 ， ． 我们还可以求得 ， ． 显然，上述结果满足下面的公式： ． 上面的公式具有一般性，我们有： 设、是某一随机试验中的两个随机事件，且 ， 则 ． 条件概率具有如下性质： ⑴ 非负性：对任意的事件，有； ⑵ 规范性：； ⑶ 可列可加性：如果随机事件 两两互不相容，则 ． 简言之，条件概率是概率． 已知某家庭有3个小孩，而且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个是男孩的概率． 解： 所求概率是． 设， ． 则，， 所以，． ⑴ 在本题中，一些同学认为其样本空间为 这是不对的，因为其中的4个基本事件不是“等可能”的． ⑵ 一些比较简单的条件概率，可以直接计算出来，而不必拘泥于条件概率的计算公式． 袋中有4只白球，5只黑球，每次从中取出一球，不放回地取两次．已知第一次取出的是白球，求第二次取出的也是白球的概率． 解： 设，． 则所求概率为．当已知第一次取出的是白球时，袋中还有8只球，其中3只是白球，因此， ． 个人排成一排，已知甲总排在乙的前面，求乙恰好紧跟在甲的后面的概率． 解： 设，． 则所求概率为．个人排成一排，“甲排在乙的前面”与“乙排在甲的前面”是“等可能”的，因此， ． 个人排成一排，共有不同的排法种，这是样本点总数． 由于事件表示“甲排在乙的前面，并且乙紧跟在甲的后面”，所以事件中含有个样本点．因此， 所以， ． 概率的乘法公式是计算两个事件交事件概率的公式． 设、是两个随机事件，且，则由“在事件发生的条件下，事件发生的条件概率”的计算公式 得 我们称上面的公式为两个事件的乘法公式． 两个事件交事件的乘法公式可以推广到有限多个随机事件交事件的概率上来． 设是个随机事件， 且，则 我们称上面的公式为个随机事件的乘法公式． 设随机事件与满足： ，， 试求． 解： 袋中有1只白球与1只黑球，现每次从中取出一球，若取出的是白球，则除了把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了次都未取到黑球的概率． 解： 设 则 ． 由概率的乘法公式，得 ． 设随机事件及随机事件满足下列条件： ⑴ ； ⑵ 两两互不相容； ⑶ ， ． 则 由条件 ； 得 再由两两互不相容，可知 也两两互不相容．因此由概率的可列可加性，得 再由条件 ， 利用概率的乘法公式，得 如果我们把随机事件看作是某一过程的结果，而把 看作是该过程的若干个原因．根据历史资料，每一个原因发生的概率已知（即已知）（即已知））的概率． 某射击小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为3、6、9、2名．现从中任意选出一名射手参加某已比赛