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§3 单纯形法原理 线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点 几个基本定理 线性规划问题的解 线性规划问题的数学模型 基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过 基可行解：满足变量非负约束条件的基解，简称基可行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。 凸集及其顶点 单纯形法的计算步骤 单纯形法的思路 通过以上例题的分析，可以归纳出单纯形法的步骤： 单纯形法一般步骤 1.初始基本可行解的确定（观察法）； 2.从约束中解出基变量； 3.代入目标消去基变量，得到非基变量xj的检验数? j 4.判断最优； 最优性判别定理：若 是对应于B的基本可行解， ?j是用非基变量表示目标函数的表达式 中非基变量xj的检验数，若对于一 切非基变量的角指数j均有?j ≤0 则当前基本可行解为最优解。 5.没有有限最优解的判断； 无最优解判别定理：若 是对应于B的基本可行解， 非基变量x k的检验数?k 0 , 且对于i=1,2,……,m 均有aik ≤0, 则原问题没有有限最优解。 6.改进目标 若?k 0，则选xk进基; 用最小比值法确定xk的最大值θ， 使基变量xl取0值，其它基变量非负； 7.主元变换（枢变换或旋转变换） xk进基， xl出基，解出新的基变量 表格单纯形法 标准型： 表格单纯形法 标准型： 表格单纯形法 表格单纯形法 表格单纯形法 基变量 检验数 最小比值列 基变量系数 右端常数 * 由图解法得到的启示： 1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（有无穷多最优解）一定是可行域的凸集的某个顶点。 4.解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值大，如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点，重复上述过程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。 线性规划问题 求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(mn)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问题的一个基。设： 称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj 对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。 A=（B | N） 非可行解 可 行 解 基解 基可行解 例4 找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中的基可行解，并确定最优解。 解: 约束方程的系数矩阵为3×5矩阵 r(A)=3，3阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有8个. 该线性规划问题的全部基解见下表中的①~⑧，打?者为基可行解，注*者为最优解，Z*=19。 基矩阵 表1-4 ? 19* 0 0 3 4 2 ⑧ ? 22 0 -3 0 4 5 ⑦ ? 17.5 1.5 0 0 2.5 5 ⑥ ? 15 4 0 -5 0 10 ⑤ ? 20 -1 0 5 5 0 ④ ? 10 4 5 0 0 5 ③ ? 17 0 2 5 4 0 ② ? 5 4 10 5 0 0 ① 是否基可行解 z x5 x4 x3 x2 x1 序号 凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。 凸集 凸集 不是凸集 顶 点 若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解（可行域顶点）是最优解。 定理1 引理 定理2 定理3 若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行解集（即可行域）是凸集。 线性规划问题的可行解x＝(x1, x2,…, xn)为基可行解的充要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。 线性规划问题的基可行解x对应线性规划问题可行域(凸集)的顶点 单纯形法基本原理 找出一个初始可行解 是否最优 转移到另一个基本可行解 （找出更大的目标函数值） 最优解 是 否 循 环 核心是：变量迭代 结束 如何改善？ 如何判断没有有限最优解？ 线性规划问题的代数运算形式 例：用单纯形法的代数运算形式求解下列线性规划问题 求解步骤 （1）化为标准型 （2）找一个初始基本可行解X（0） B0为一个可行基， x3 、 x4 、 x5为关于可行基B0的基变量， x1 、 x2 为关于可行基B0的非基变量，为求初始基本可行解，令非基变