中考数学第二讲矩形菱形与正方形.pptVIP

第2讲　矩形、菱形与正方形 一、特殊平行四边形的有关概念 1．有____________的平行四边形叫矩形； 2．________________的平行四边形是菱形； 3．______________________________是正方形． 二、特殊平行四边形的性质 三、特殊平行四边形的判定方法 友情提示： (1)矩形、菱形的边、角、对角线各有其特性，而正方形综合具有矩形、菱形的所有性质； (2)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，矩形、菱形各有2条对称轴，而正方形有4条对称轴． 1．下列命题中，真命题是 (　　) A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 解析：应注意是在四边形还是平行四边形的基础上判定矩形、菱形、正方形． 2．若菱形的对角线长分别为6cm和8cm，则此菱形的边长是 (　　) A．10cm　　　B．5cm　　　C．6cm　　　D．7cm 3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 (　　) A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 解析：由∠A＝∠B＝∠C＝90°得四边形ABCD为矩形，所以再添条件：一组邻边相等或对角线互相垂直才行． 4．一个矩形的两条对角线相交成60°角，矩形的短边为3cm，则矩形对角线的长为________． 解析：由矩形对角线相等并且互相平分得由短边与两对角线围成的三角形为等边三角形． 5．如图5－2－1，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为________cm2. 6．如图5－2－2所示，在?ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE. 求证：四边形ABCD是矩形． 解析：因为已知四边形是平行四边形，所以只要说明有一个内角为直角即可． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB綊DC ∵BE＝CF ∴BF＝CE 在△ABF和△DCE中 ∵AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE ∴△ABF≌△DCE ∴∠ABC＝∠DCB，而∠ABC＋∠DCB＝180° ∴∠ABC＝90° ∴平行四边形ABCD是矩形 根据矩形的四个角都是直角，对角线相等且相互平分等性质，通常得到直角三角形，等腰三角形等去计算线段的长，角的度数，以及为证明其它结论提供一部分条件，矩形的判定是常考考点，一般由已知一部分条件再补充一条必要条件说明四边形是矩形这样的选择、填空题，有些题型是与全等三角形、平行四边形、菱形、梯形等相结合的综合性推理证明题． 【例1】如图5－2－3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 (　　) A．1.6　　　　　　 B．2.5 C．3 D．3.4 【例2】(2010·聊城)如图5－2－4，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE. (1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形． 思路分析：(1)求∠CAE的度数主要利用等边三角形的三个内角都是60°及“三线合一”等性质． (2)证明四边形AFCE是矩形，一要说明它是平行四边形，二要证明它的一个内角是90°或对角线相等，由已知条件易知应说明一个内角是90°. 解：(1)在等边△ABC中， ∵点D是BC边的中点， ∴∠DAC＝30°， 又∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°， ∴∠CAE＝30° (2)在等边△ABC中， ∵F是AB边的中点，D是BC边的中点， ∴CF＝AD，∠CFB＝90°， 又∵AD＝AE，∴AE＝CF， 由(1)知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°＋30°＝90°， ∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE， ∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵∠CFA＝90°， ∴四边形AFCE是矩形 本考点主要包括在菱形中求线段的长度，求角的度数，求菱形的面积，周长等计算类问题，由菱形的边、对角线的特性推理证明其它结论，菱形的判定方法的应用等． 【例3】如图5－2－5，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 (　　) A．20　　 B．15　　 C．10　　 D．5 思路分析：由菱形的四条边都相等，对角线平分一组对角可得，AB＝BC，∠ACB＝60°，故三角形ABC为等边三角形． 答案：D 【例4】如图5－2－6，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论． 易猜测四边形P