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* 第24章圆知识体系复习 一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦) (2)弧、优弧、劣弧、等弧 (3)弦心距 ． O 二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性. ． 2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系: (1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等. A B D C O ∵ ∠COD =∠AOB ︵ AB ︵ CD = ∴ ∴AB=CD 3.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ． A D B P C ∵CD是圆O的直径,CD⊥AB ∴AP=BP, ︵ AC ︵ BC = ︵ AD ︵ BD = 4.圆周角: 定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∠BAC= ∠BOC 1 2 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等. 圆周角的性质(2) ∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径. ∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900 圆周角的性质: (2)点在圆上 (3)点在圆外 (1)点在圆内 ． ． ． 1.点和圆的位置关系 ． A C B 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为: d与r的关系 点与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d＜r d＝r d＞r 三.与圆有关的位置关系: 2.直线和圆的位置关系: ． O ． O ． O l l l (1) 相离: (2) 相切: (3) 相交: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个圆相离. 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个圆相切. 一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这个圆相交. ． O ． O l (1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r. 直线与圆位置关系的识别: ∟ d r l ∟ d r ． O l ∟ d r 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: 1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ． O A ∟ l ∵OA是半径,OA⊥ l ∴直线l是⊙O的切线. 切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心. ． O ． A ∟ l ∴ OA⊥ l ∵直线l是⊙O的切线,切点为A 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。 B A P O ． ． ． ∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO 不在同一直线上的三点确定一个圆. O ． ． C ． B ． A 三角形的外接圆与内切圆: 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. ． O A B C 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. 等边三角形的外心与内心重合. 特别的: 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. O A B C D 圆与圆的位置关系: . . . . . 外离 外切 相交 内切 内含 ． O1 ． O2 ． O1 ． O2 ． O1 ． O2 ． O2 ． O1 ． O1 ． O2 内含 内切 相交 外切 外离 数量关系及识别方法 两圆的位置关系 d＞R+r d=R+r d=R-r d＜R-r R-r＜d＜R+r 三.正多边形: 2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． １.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． O A B F D C E G 1.圆的周长和面积公式 2.弧长的计算公式 3.扇形的面