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第二章 各向异性 弹性力学基础 §2.1 各向异性弹性力学 基本方程 工程应力 工程应变 几何关系方程 变形协调方程 （1） 变形协调方程（2） 平衡方程 物理方程 物理方程 §2.2 完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料 一、完全各向异性（21个弹性常数） 二、有一个弹性对称面（13个弹性常数） 有一个弹性对称面的材料 此时：z=-z’，w=-w’， 有一个弹性对称面的材料 有一个弹性对称面的材料 三、正交各向异性（9个弹性常数） 2.2.2正交各向异性材料 四、横向同性（5个弹性常数） 横观各向同性材料 又设某点应力状态：?1= ? ， ?2= －? ， ?4= ?5＝ ?6，有 横观各向同性材料 横观各向同性材料 五、各向同性材料（3个弹性常数） 2.2.4各向同性材料 2.2.4各向同性材料 六、 正交各向异性材料的 工程弹性常数取值范围 3° 因为[S]是对称的，所以 对于各向同性材料： E0，G0 , -1?1/2 对于各向异性材料，考虑到应变能W0，所以[C]和[S]必须正定。 一般Ei?Ej，所以，?ij ? ?ji 。 因此共有九个参数。 * * §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数 回总目录 各向异性弹性力学基本方程包括： §2.1(1) 1°工程应力方程 2°工程应变方程 3°平衡方程 4°几何关系方程 5°变形协调方程 6°物理方程 注：以上关系与各向同性体相同 (本构关系) Hooke 定理： 记作{?}=[C]{?}， [C]—刚度矩阵，可以证明， [C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。 同样， [S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。 同样，可用应力分量表示应变分量： [S]＝[C]-1—柔度矩阵。 §2.2 各向异性弹性体的  本构方程 §2.2 §2.2 应变势能密度为： 各向异性体具有耦合现象：剪应力可以引起 正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然。 注意：各向同性体无此耦合现象。 取xOy坐标面为弹性对称面，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z 轴转到z’轴时，应力应变关系不变。 xy面为弹性对称面，z轴为材料主轴或弹性主轴. 为保证W值不变,将含有?xz和?yz(?4与?5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。 同理： 如果具有三个正交弹性对称面，则： 只有九个独立系数（后面再详细讨论） 各向同性面—在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。 假定：1，2，3都是弹性 主轴，1－2面是各向同性面。 则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55 将1、2坐标轴在面内转450到1 ’ 、2’，则?1’= ?2’＝ ?3’＝0， ?6’ ＝?1’2’＝－ ?， ?2’3’＝ ?3’1’ ＝0： 则：S66＝2(S11 –S12) 只有五个独立系数 如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。 有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23， S11=S22=S33，S12=S13 =S23， 只有三个独立参数，可以用E、?、G表示。 实际上只有两个，因为E、?、G之间有关系。 单独在j方向有正应力时i方向上应变与j方向应变之比的负值 工程常数是指弹性模量Ei,泊松比?ij和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。 分别在各弹性主方向有作 用力时的应力应变之比 对正交各向异性材料：