复合函数与隐函数的微分.pptVIP

Review 二阶导数 : 3. 设 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 2.二元隐函数求偏导 已知 求 方程两边作为 的函数同时求偏导 故 例8 求 确定的隐函数的 偏导数 令 则 故 解 例9 设函数 的函数,其中 解 故 方程 确定 是 可微; 连续,且 求 令 则 例10 确定的隐函数的 偏导数 故 求 令 解 例. 设F( x , y)具有连续偏导数, 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 故 对方程两边求微分: 解法2 微分法. 设 确定 求 解 例３ 记 故 例4 证明由方程 确定的隐函数 满足 证明: (方法一) 记 则 * * * 第四节复合函数与隐函数的微分法 一.复合函数的微分法 定义 设 是 的函数 而 又分别是 的函数 则称 是 的复合函数, 记作: 其中 称为中间变量. 定理 若函数 和 在点 的偏导数存在, 而函数 在 对应于 的点 处可微,则复合 函数 在点 存在偏导数,且 证 因为 可微 所以 令 则有 故 附证: 证 建议按关系图记公式: (1)从因变量到自变量有几条路,公式中就 有几项相加; (2)每一条路上有几段,对应项中就有几个 因子相乘; (3)每个因子都是相应段上的偏导. 注 遇一元函数时写一元函数导数符号. 例1 已知 求 解法一 1.具体复合函数求偏导 例1 已知 求 解法一 例1 已知 求 解法二 例1 已知 求 解法二 例2 设 而 求 解 例3 设 其中 求 解 令 例4 求 的偏导数. 解 令 则 2.抽象复合函数求偏导 例4 求 的偏导数. 解 新 的 书 写 形 式 补充 (2007年考研真题4分) 设 是二元可微函数, 则 解 例5 设 可导,求 解 令 1.具体复合函数求偏导 2.抽象复合函数求偏导 原始法则或多元复合法则都行. 建议:如果没令按原始法则求; 如果已经令好(包括没令完整的,没令 只能按多元复合法则求. 用逗号隔开的每一部分令一个变量, 完整要补充完整)按多元复合法则求. 也可用数字1、2来代替变量. 总 结 二.隐函数的微分法 1.一元隐函数求导数 已知 求 方程两边作为 的函数同时求导 故 例6 已知 求 解 令 则 故 解 方程两边作为 的函数同时求导 故 例7 设 解 故 有连续偏导数, 分别由方程 所确定, 求 令 则 和 令 则 故 代入即可. 定理 若函数 和 在点 的偏导数存在, 而函数 在 对应于 的点 处可微,则复合 函数 在点 存在偏导数,且 课堂练习: 已知 求 解 2.复合函数微分 设 均可微, 例3 解： 求 例4 求 的偏导数. 解 记 则 例4 求 的偏导数. 解 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 * * * *