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8.2 循环比赛的名次 n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 根据比赛结果排出各队名次 方法1：寻找按箭头方向通过全部顶点的路径。 1 2 3 4 5 6 312456 146325 方法2：计算得分：1队胜4场，2, 3队各胜3场，4, 5队各胜2场， 6队胜1场。 无法排名 2, 3队， 4, 5队无法排名 6支球队比赛结果 …… 3?2，4 ?5 排名 132456 合理吗 1 2 3 (1) 1 2 3 (2) 1 2 3 4 (1) 1 2 3 4 (2) 1 2 3 4 (3) 1 2 3 4 (4) 循环比赛的结果——竞赛图 每对顶点间都有边相连的有向图 3个顶点的竞赛图 名次 {1，2，3} {(1,2,3)}并列 {1, 2, 3, 4} {2,(1,3,4)} {(1,3,4), 2} 4个顶点的竞赛图 名次 {(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}? 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (1) (2) (3) 1 2 3 4 (4) 竞赛图的3种形式 具有唯一的完全路径，如(1)； 双向连通图——任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)； 其他，如(2)， (3) 。 竞赛图的性质 必存在完全路径； 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。 1 2 3 4 (4) 双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序 邻接矩阵 得分向量 双向连通竞赛图的名次排序 对于n(3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar 0，A称素阵 素阵A的最大特征根为正单根?，对应正特征向量s，且 排名为{1，2，4，3} 用s排名 1 2 3 4 (4) {1, 2, 3, 4}? 1 2 3 4 5 6 6支球队比赛结果 排名次序为{1，3， 2，5，4，6} v1—能源利用量； v2—能源价格； v3—能源生产率； v4—环境质量； v5—工业产值； v6—就业机会； v7—人口总数。 8.3 社会经济系统的冲量过程 系统的元素——图的顶点 元素间的影响——带方向的弧 影响的正反面——弧旁的+、– 号 带符号的有向图 影响——直接影响 符号——客观规律；方针政策 例 能源利用系统的预测 + - + - + + + + - - + v2 v1 v3 v4 v6 v7 v5 带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵A V~顶点集 E~弧集 定性模型 - vi vj + 某时段vi 增加导致下时段vj 增加减少 带符号的有向图G1 + - + - + + + + - - + v2 v1 v3 v4 v6 v7 v5 加权有向图G2及其邻接矩阵W 定量模型 某时段vi 增加1单位导致下时段vj 增加wij单位 v7 0.3 1 1.5 1 1.5 1.2 0.8 -2 -2 -0.7 -0.5 v1 v2 v3 v4 v5 v6 加权有向图G2 冲量过程（Pulse Process) 研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程 vi(t) ~ vi在时段t 的值； pi(t) ~ vi在时段t 的改变量(冲量) 冲量过程模型 或 2 3 1 -1 0 0 1 0 -1 2 -2 1 -1 1 0 -1 1 -1 1 -1 0 1 0 3 -3 2 -2 1 1 -1 能源利用系统的预测 简单冲量过程——初始冲量p(0)中 某个分量为1，其余为0的冲量过程 若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变 设 能源利用系统的 p(t)和v(t) -1 1 0 -1 1 -1 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 简单冲量过程S的稳定性 任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限(稳定) S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定 S冲量稳定~对任意 i,t, | pi(t) |有界 S值稳定~对任意 i,t, | vi(t) |有界 值稳定 冲量稳定 S的稳定性取决于W的特征根 记W的非零特征根为? S冲量稳定 ? |? | ? 1 S冲量稳定 ? |? | ? 1且均为单根 S值稳定 ? S冲量稳定且?不等于1 对于能源利用系统的邻接矩阵A 特征多项式 能源利用系统存在冲量不稳定的简单冲量过程 简单冲量过程S的稳定性 简单冲量过程的稳定性 改进的玫瑰形图S* ~带符号的有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点。 回路长度~ 构成回路的边数 回路符号~ 构成回路的各有向边符号+1或-1之乘积 ak~长度为k的回路符号和 r~使ak不等于0的最大整数 S*冲量稳定 ? 若S*冲量稳定，则S*值