抛物线的几何性质二.pptVIP

2.4.2抛物线的简单几何性质(2) 复习： 1、抛物线的几何性质 e 对称轴 顶点 范围 准线 焦点 方程 图 形 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 2、通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大,开口越开阔 3、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。 通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。 x O y F A 补、焦点弦： 焦点弦公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。 B 焦点弦的长度 焦半径 顶点 对称性 范围 图 形 方程 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） 例1、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 例2、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？ （2） 是否为定值？ x O y F A B 这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动. x y O A B D F l 例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 x y O F A B D 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。 因为x轴垂直于AB，且 ， 例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。 解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22 即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0, y x o A B (x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X10，X20，2p0, X1=X2. 所以 (x1,y1) (x2,y2) 例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。 . x o y F A B M C N D 解： 1.过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点， 若PF与FQ的长分别是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D) y x F . P Q 2.已知A、B是抛物线 上两点，O为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方 程是：( ) (A) (B) (C) (D) A B O F . y x C D 解这题,你有什么方法呢? 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长. 关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 例3:(课本第70页例5) 过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点,通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点求证:直线平行于抛物线的对称轴. 3、是抛物线上的两点,满足(为坐标原点). 求证:⑴两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; ⑵直线经过一个定点. 设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0） ⑴∵ OA⊥OB ∴