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* * 三、固有频率和主振型 多自由度系统的固有频率和主振型，通过求解系统的无阴尼自由振动方程得到。 多自由度系统无阻尼自由振动的运动方程为： 求解方程（2-74）的问题，常称为特征值问题。要得到方程 （2-74）的振动解（非零解），必须｛A｝的系数行列式等于零，即 式（2-75）称为特征方程或频率方程，将特征行列式△ ( ω2n) 展开后得到一个( ω2n)的n阶多项式，求解式(2-75)可得n个根： ω2n 1， ω2n 2 ， ······ ， ω2n n ，称为特征值，将特征值分别开方后求得的n个ω2n r (r＝1，2， ······ ，n）称为系统的n个固有频率，按大小顺序排列： ω2n 1 ≤ ω2n 1 ≤······ ω2nn ，分别为一阶（基本）固有频率、2阶固有频率、……n阶固有频率。 将任何一个特征值ω2n r代回方程（2-74)，都可求得一个相应的非零向量｛A( r) ｝，称为特征向量，对于振动系统，一个特征向量描绘了系统振动位移的一种形态，称为主振型（主模态），主振型只与系统本身的参数有关，而与其他条件无关，所以又称为固有振型。可见，n个自由度的系统有n个固有频率和n个相应的主振型，与r阶固有频率ωn r ，相应的主振型｛A( r) ｝，称为r阶主振型。 如图2-19 a所示的三自由度系统，已知。m1=m2=m3= m, k1=k4=2k，k2 =k3=k，计算系统的固有频率和主振型。 系统的质量矩阵和刚度矩阵为 四、模态分析 多自由度振动系统的各主振型间是有一定联系的，这种联系反映为主振型的正交性。主振型的正交性是多自由度系统一个十分有用的性质。 上面两式表达了任意两个主振型之间的关系，式(2-86)称为主振型关于质量的正交性，式（2-87)称为主振型关于刚度的正交性。当〔m〕或〔k〕等于单位矩阵的特殊情况下，主振型的正交性就和通常向量的正交性具有同样的意义。 当〔m〕是对角矩阵时，将式(2-86)展开得 从式（2-88)可以看出：不同主振型的振幅不会有完全相同的符号（位移方向）。设一阶主振型的振幅全部为正，则其他主振型必定有负的振幅，因而出现振幅为零的点（或线），称为节点（或节线）。 正是由于主振型对质量矩阵〔m〕和刚度矩阵〔k〕都具有正交性，因此以主振型组成的矩阵作为线性变换矩阵，对系统的原运动方程进行坐标变换，可以使〔m〕和〔k〕都同时对角线化。 将系统的n个主振型（主模态），每一个作为一列按阶次同时排列在一个矩阵中，组成一个n阶方阵〔φ〕，称为模态矩阵（振型矩阵），即 模态矩阵 式(2-91)是以新广义坐标｛q｝表达的。 方程(2-91)称为系统的模态方程 广义质量矩阵〔 M 〕,简称为模态质量矩阵 广义刚度矩阵〔K〕，简称为模态刚度矩阵 它们都是对角矩阵 模态质量矩阵为 坐标变换的物理意义 式（2-99）说明，广义坐标｛x｝是系统的各阶主振型的线性组合，它所包含的物理意义是：振动系统任何可能的运动都是各阶主振型按一 定比例叠加起来的，某阶主振型｛A(r)｝对运动的贡献由主坐标qr决定，所以， qr相当于r阶主振型的参与因子。 综上所述，应用由系统各主振型组成的模态矩阵作为变换矩阵，对原方程进行坐标变换，可使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角线化，得到一组互不藕合的模态方程，其中每一个方程的结构都和一个单自由度系统的运动方程相同，可以应用解单自由度系统的方法分别求解，从而求得多自由度系统的响应。这样一个过程，通常称为模态分析。用这种方法求得的解是系统各主振型的线性叠加，故又称为振型叠加法。 模态矩阵正则化 主振型只是系统各坐标振动位移的比值，其振幅是不定的，同乘以任意常数后，不会改变这个比例。因此，主坐标事实上也是不定的，可以有无限多种选择，其中最常用的一种是将模态质量矩阵正则化为单位矩阵 模态质量矩阵正则化为单位矩阵的条件是： *