清华大学计算固体力学第九次课件梁和壳.pptVIP

? 应用实例 Ｄ ? p ?m ?m ? 应用实例 Ｄ p ?t ?t ?t (2 ? l ) p pDl 结构理论的非协调性和特殊性 6 CB壳理论 在壳体的分析中，要注意边界效应。某些边界条件导致了边界效应，在较窄的边界层处性能发生了剧烈的变化。对于某些边界条件，在边界的角点处可能发生奇异性（管道交接处）。 应用结构运动学假设的一个原因是它们改善了离散方程的适应性。如果一个壳体由三维的连续体单元模拟，自由度是所有节点的平动，与厚度方向应变相关的自然模态具有非常大的特征值。其结果，对于一个隐式更新算法，线性化平衡方程或者线性化方程的适应性可能是非常差的。 壳方程的适应性也不如标准连续体模型那样好，但是比薄壳的连续体模型的适应性要明显强一些。在显式方法中，由于沿厚度方向模态的较大特征值，导致薄壁结构的连续体模型需要非常小的临界时间步长。CB壳模型可以提供更大的临界时间步长。 7 剪切和膜自锁 壳单元的最大困难特性是剪切和薄膜自锁。剪切自锁源于出现了伪横向剪切。更确切地说，它源于许多单元没有能力表现弯曲变形，剪切刚度通常远远大于弯曲刚度，伪剪切吸收了大部分由外力产生的能量，而预计的挠度和应变成为非常小的量值，这就是所谓的剪切自锁。 薄膜自锁的出现是源于在壳单元中没有能力表现变形的不可伸长模式。 壳弯曲而没有伸长：一张纸，能够很容易地将其弯曲，称为不可伸长弯曲。然而，用手拉伸一张纸几乎是不可能的。 壳的行为类似：弯曲刚度很小，而薄膜刚度很大。当有限元没有伸长又不能弯曲时，能量是不准确地转换成为薄膜能，于是导致低估了位移和应变。 在屈曲模拟中，薄膜自锁是尤为重要，因为许多屈曲模态是完全的或者接近于不可伸缩的。 7 剪切和膜自锁 剪切和薄膜自锁与体积自锁是相似的：当有限元近似的运动不能满足约束时，约束模式比正确运动的刚度表现的更为刚硬。 在体积自锁的情况中，约束是不可压缩，体积刚度过大， 而对于剪切和薄膜自锁，在弯曲中的约束为Kirchhoff-Love正常状态约束和不可伸长约束(与纤维的不可伸长没有任何关系)。 应该注意的是薄壳的自由剪切行为不是一个精确的约束。对于较厚的壳和梁，希望有某些横向剪切，但是，就像对于几乎不可压缩材料，体积自锁的单元表现很差一样，对于厚度适中的壳，即使当横向剪切出现时，壳单元的剪切表现是很差的。 7 剪切和膜自锁 自锁现象比较 不可压缩，等体积运动，J = 常数 薄膜自锁 在不可伸缩弯曲模式中出现薄膜应变 不可伸缩约束 剪切自锁 在纯弯曲中出现横向剪切应变 体积自锁 在单元中出现体积应变 自锁类型 有限元运动的缺陷 约束 自锁：单元没有能力锁住不该有的变形 或单元没有能力表现该有的变形 Kirchhoff-Love约束 7 剪切和膜自锁 薄膜自锁 为了说明薄膜自锁，利用Maguerre浅梁方程 考虑一个长为 l 的3节点梁单元，采用母单元坐标为 在一个不可伸缩的模式中，薄膜应变 必须为零。 对公式中的表达式 进行积分，对于y＝0 令 考虑一个梁的纯弯模式，有 在没有横向剪切时，由公式可以得到 7 剪切和膜自锁 薄膜自锁 在没有横向剪切时，证明： 证明： 积分： 由边界条件： 得到： 7 剪切和膜自锁 薄膜自锁 设在一个初始对称构形中， 如果 要求满足公式 。由公式计算薄膜应变给出为 则在这种变形的不可伸缩模式下，除了在 外, 伸缩应变处处不为零。 如果单元包括伸缩应变不为零的积分点，单元将展示薄膜自锁。 对于3节点的CB梁，在 中给出的剪切和在上面给出的薄膜应变，它们都在点 处为零， 即两点积分的Gauss积分点。这些点常称为Barlow点。 7 剪切和膜自锁 消除自锁 通过在积分点 处对剪切能进行不完全积分，限制对其他点的剪切能取值可以避免附加剪切，从而使单元不会自锁。 多场方法，通过设计合适的应变场，也可以回避自锁。例如，如果应用Hu-Washizu弱形式，通过使得横向剪切为常数可以回避剪切自锁。横向剪切速度和剪切应力场为（Hybrid法）： 系数由离散协调方程和本构方程确定。 应用假设应变方法也可以避免自锁，实质是设计横向剪切场和薄膜应变场，从而使得附加剪切和薄膜自锁为最小。必须设计假设应变场，以保证刚度矩阵是正确的秩。对于2节点的梁，假设的应变场必须是常数，并且在纯弯时必须为零。实现这些目的，如果 7 剪切和膜自锁 消除自锁 是在中点处等于 的常数场，对于这个场，在纯弯时整个单元中的假设剪切应变率将为零。