清华大学计算固体力学第四次课件Lagrangian网格.pptVIP

4 编制程序 Jacobian矩阵 考虑平衡方程 定义残差 通过Newton迭代求解和线性化 内力Jacobian－切线刚度 外力Jacobian－载荷刚度 整体Jacobian为二者之差 ABAQUS的UMAT就是求内力的Jacobian矩阵－切线刚度 Jacobian矩阵是时间的函数， 的逆给出为 4 编制程序 4节点四边形单元采用单元坐标表示的形状函数的梯度为 采用空间坐标表示的形状函数的梯度为 出现在分母中 4 编制程序 速度梯度给出为 内部节点力 上式适用于任意的二维等参单元。因为 是关于单元坐标的有理函数，所以不能对上式进行解析积分，通常使用数值积分。 对于4节点四边形单元，2×2 Gauss积分为完全积分。但是在平面应变问题中，对于不可压缩或几乎不可压缩的材料，完全积分会出现单元自锁，因此必须应用局部减缩积分。 对于4节点四边形单元，沿着每条边的位移是线性的。所以，其外部节点力与3节点三角形单元外部节点力是一致的。 出现在分母中，被积函数 4 编制程序 一致质量矩阵 根据Lobatto积分，使积分点与节点重合，或者将单元的整个质量平均分配到4个节点上可以得到一个集中的对角质量矩阵，分配到4个节点上给出 集中质量矩阵 例题 主－从连接线 4 编制程序 连接线经常用于连接采用不同单元尺度的网格部分，因为它们比使用三角形或四面体单元连接不同尺度的单元更方便。通过约束从属节点的运动，使其与连接主控节点的附近边界的场一致，保证跨过连接线的运动的连续性。 根据转换规则，导出节点力和质量矩阵。 例题 主－从连接线 4 编制程序 通过运动约束给出从属节点的速度，使沿连接线两侧的速度保持协调，即C0。这个约束可以表达为节点速度的一个线性关系，可以写成为 连接后模型的节点力为 矩阵A是从线性约束得到的，“^”表示在两侧连接到一起之前的分离模型的速度 主控节点力是分离模型的主控节点力和转换的从属节点力的和。这些公式对于外部和内部节点力都适用 一致质量矩阵为 4 编制程序 4节点四边形单元，沿任何边界上的速度是线性的。从属节点3和5与 主控节点1和2重合，而从属节点4与节点1的距离为 节点速度可以写成为 节点力则给出为 主控节点1的力是 节点力两个分量的转换是一致的；这种转换对于内部和外部节点力都适用。如果两条边只是在法向相连接，则需要在节点上建立局部坐标系。通过公式，联系节点力的法向分量，而切向分量保持各自独立。 例题 主－从连接线 * * 非线性有限元第4章 Lagrangian网格 计算固体力学 第4章 Lagrangian网格 引言 UL控制方程，弱形式 UL有限元离散 编制程序 旋转公式 TL格式，弱形式，有限元半离散化 1 引言 在Lagrangian网格中，节点和单元随着材料移动，边界和接触面与单元边缘保持一致，处理较为简单。积分点也随着材料移动，本构方程总是在相同材料点处赋值，这对于历史相关材料是有利的。基于这些原因，在固体力学中广泛地应用Lagrangian网格。 UL格式，Eulerian（空间）坐标和Cauchy应力； TL格式，名义应力，PK2应力，Green应变张量。 2 UL控制方程 弱形式 考虑一个物体，占有域Ω，边界为Г。 连续体力学行为的控制方程是： 1 质量（或物质）守恒，标量方程； 2 线动量和角动量守恒，张量方程，包含n个偏微分方程（n－维数）； 3 能量守恒，通常称作热力学第一定律，标量方程； 4 本构方程，应力－应变或应变率的关系，对称张量； 5 应变－位移方程。 2 UL控制方程 弱形式 边界条件：在二维问题中，面力或速度的每个分量都必须预先指定在整个边界上；但是，面力和速度的同一个分量不能指定在边界上同一点处。其分量可以指定在不同于总体坐标系的局部坐标系上。 速度边界条件等价于位移边界条件：如果给定了位移，可以通过时间微分得到速度；给定了速度，可以通过时间积分得到位移。 2 UL控制方程 弱形式 初始条件：可以是速度和应力，或者是位移和速度。第一组初始条件更适合于大多数工程问题，因为确定一个物体的初始位移通常是很困难的。初始应力通常为已知的残余应力，有时候可以测量或者通过平衡解答估算。例如，当一个钢件经过铸锭成型后确定其位移几乎是不可能的。对于在工程部件中的残余应力场，经常能够给出较准确的估计。类似地，在埋置管道中，靠近管道周围的土壤或岩石的初始位移的概念是毫无意义的，而初始应力场可以通过平衡分析估计出来。因此，以应力形式的初始条件更加实用。 虚功率原理是动量方程，面力边界条件和内部力连续性条