清华大学计算固体力学第八次课件单元技术.pptVIP

4 Q4和体积自锁 Q4－4节点四边形单元 考虑单元1，仅可能非零的节点速度是在3点 是任意值 单元 1 的所有其它节点速度必须为零以满足边界条件。 对于一个任意的运动，其膨胀率为 节点3的速度给出 ， 所以，膨胀率的常数项是非零的，除非 因此，一个等体积运动需要膨胀率为零，即 4 Q4和体积自锁 Q4－4节点四边形单元 当 其中 只有沿着直线 上式才为零！ 尽管单元的运动是一个常数体积运动，除了在该直线上，膨胀率是处处非零。为了满足在整个单元中的等体积运动，? 必须为零，并且节点3不能移动。 如果节点3不能移动，在单元2的左侧，则由节点2和3提供了刚性边界，并且对于单元2，重复这些讨论可以证明节点6是不能移动的。这一讨论则可以对网格中的所有单元重复，以证明所有节点的速度必须为零。即有限元模型自锁。这一讨论也适用于歪斜单元。 4 Q4和体积自锁 Q4-4节点四边形单元 另一种检验的方法是考虑单元的双线性速度场 膨胀率给出为 通过在整个单元域上积分膨胀率，计算一个单元面积的变化 线性分量 双线性项积分为零，其导数正交于常数场 证明对于任意的等体积速度场， 保持单元面积为常数的运动的膨胀率则是 是必要的 设上式结果为零，以反映等体积运动， 4 Q4和体积自锁 Q4－4节点四边形单元 尽管所有单元的变形是保持体积不变，这一膨胀率在单元中的任何区域 都是非零的，除非沿着曲线 这样，单元不能再造一个等体积运动。注意上式也证明了引起困难的一部分运动是沙漏模式，因为它保持了体积，但是在单元内的膨胀率是非零的。 这些讨论扩展到接近于不可压缩的材料中，为了简单，考虑一个线性材料。 如果分解线性弹性应变能为静水部分和偏量部分，为 式中K是体积模量，? 是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元的整个体积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体积的。否则，当K是一个非常大的数时（一个接近于不可压缩材料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。 4 Q4和体积自锁 Q4－4节点四边形单元 因此，体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运动。为了消除自锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中单元的膨胀率为零。 为了避免自锁，对于任意保持单元体积的速度场，在整个单元的应变场必须是等体积的。特别是对于四边形单元，因为这一运动是等体积的，对于沙漏模式，在整个单元中膨胀必须为零。 在平面应力单元中没有体积自锁问题。 4 Q4和体积自锁 应用杂交单元 5 多场弱形式和单元 Hu-Washizu 弱形式：最通用的多场弱形式是H-W变分原理。这一变分原理是在两场原理的Reissner发展之后建立起来的，Hellinger-Reissner两场原理是指位移和应力是未知的两个场。在非线性分析中很少应用两场原理，因为它与应变控制的本构模型是不相容的。 关于三场原理的一个有趣的轶事出现在Eric Reissner完成二场原理的工作后，Washizu拜访了他，Washizu告诉他有关对三场理论的发展。Reissner叙述这个故事时说：“我首先反对，因为只有应力和位移可以在问题的边界条件中出现，除了定义应变-位移关系之外的方式，任何考虑应变-位移关系都是不自然的。然而不久之后，我就被三场原理说服了，我个人认为，由Washizu和Hu分别独立提出的三场原理是一个我所希望的有价值的进展。” 胡海昌-鹫津久一郎原理 H-W三场原理包括速度，应变率和应力。 5 多场弱形式和单元 H-W三场原理弱形式。类似UL形式。 动量方程 外力边界条件 在 上 本构条件 应变度量 内部连续条件 在 上 通过Hu-Washizu原理建立的有限元方程涉及三个张量场的近似。标量场的结果数目是非常之大 。三维6、6、3，二维3、3、2。 6 多场四边形 自锁的单元是没有用处的，通过假设应变的方法建立多场四边形。设计速度-应变场以避免体积自锁和在弯曲中的剪切自锁。 假设与速度-应变场相联系的速度场是 上角标‘c’表示速度-应变场的常数部分。 对于不可压缩材料，具有2?2积分点的Q4自锁。自锁是由于膨胀场与沙漏模式相联系。从公式看出沙漏模式导致了扩展速度应变的非常数部分。 在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生自锁，有两种办法。 假设速度应变避免体积自锁 6 多场四边形 第一种方法导致了假设速度应变为 第二种方法中，假设速度应变场给出为 假设速度应变避免体积自锁 1 可以省略前两行的非常数项； 2 可以修正前两行，以使在沙漏模式中不发生体积速度应变 在构造一个速度应变插值时