特征值和特征向量集美大学.pptVIP

*集美大学理学院 第4章 矩阵的特征值 和特征向量 §4.1 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 §4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 1. 特征值与特征向量定义 2. 相关概念 4.特征值与特征向量求法 3.两个有用公式 (特征方程根与系数的关系) 5.特征值与特征向量的性质 §4.1 矩阵的特征值 和特征向量 1. 特征值与特征向量定义 定义4.1 若存在常数 及非零向量 例：设 即 2、相关概念(定义4.2) 称 ※ 因为 即n元齐次线性方程组 有非零解， 等价于 设A为n阶矩阵，则λ0是A的特征值， α是A的属于λ0的特征向量的充要条件是 λ0为特征方程det(λE-A)=0的根，α是齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解。 推论1、2（P159） 若α1，α2是A属于λ0的特征向量，则c1α1+ c2α2也是A属于λ0的特征向量。 定理4.1 3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系) 可求得非零解 对每个 解方程 此即对应于 的特征向量. 解特征方程 ,即可得特征值 4.求法 即为 的迹. 这里 记为tr(A) 例 1 求矩阵 的特征值与特征向量. 解 得特征值 当 时, 解方程 由 得基础解系 全部特征向量为 当 时, 解方程 由 得基础解系 全部特征向量为 例 2 求矩阵 的特征值与特征向量. 解 得特征值 当 时, 解方程 得基础解系 全部特征向量为 当 时, 解方程 得基础解系 全部特征向量为 注意在例1与例2中,特征方程的 重根所对应的线性无关特征向量的个数. 例3 如果矩阵 则称 是幂等矩阵. 试证幂等矩阵的特征值只能是 0或 1. 证明 设 两边左乘矩阵 , 得 由此可得 因为 所以有 得 ※ 由证明过程可得结论, 若 是 的特征值, 则 是 的特征值. 进而 是 的特征值 练习： 5.特征值与特征向量的性质 定理4.2 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。 证： 要使A和AT有相同的特征值，只要 |λE- AT|= |λE- A|成立。 事实上， |λE- AT|= |(λE- A)T|= |λE- A|＃ 定理4.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是它的任一特征 值不等于0。 证 必要性：A可逆，则|A|≠0,所以 |0E-A|=|-A|=(-1)n|A| ≠0,即0不是A的特征值。 充分性(反证法)：设A不可逆，即|A|=0,从而 |0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,即0是A的特征值，矛盾。 定理4.4 不同特征值对应的特征向量是线性无关的. 定理4.5 λ1,λ2,…,λm是A的m个不同的特征值，A的属 于λi的线性无关的特征向量为αi1,αi2,…,αisi(i=1,2,..,m)， 则向量组α11,α12,…,α1s1,α21,α22,…,α2s2,…,αm1,αm2,…,αmsm, 线性无关。 即λ1, λ2,…, λm是A的m个不同的特征值，α1, α2,…, αm分别是A的属于λ1, λ2,…, λm的特征向量，则α1, α2,…, αm线性无关。 ※ ① 不同特征向量可属于同一个特征值. ② 一个特征向量不能对应于不同特征值. ③ 不同特征值对应的特征向量是线性无关的. 练习 §4.2 相似矩阵与矩阵 可对角化的条件 1. 相似矩阵概念 2. 相似矩阵基本性质 3. 方阵的对角化含义 4. 矩阵可对角化的条件 1.相似矩阵概念 ※ ① 这时 也是 的相似矩阵: ② 相似 等价. 定义4.3 设A、B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使 P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵,或说A与B相似.记作 A～ B 称P为把A变成B的相似变换矩阵. 2.相似矩阵基本性质 基本性质 (1) 相似矩阵有相同的行列式. (2) 相似矩阵有相同的迹. (3) 相似矩阵有相同的秩. (4) 相似矩阵有相同的特征多项式. (5) 相似矩阵有相同的特征值. 证明 (1) 设矩阵A与B相似,即有P -1 AP=B (2) 显然. (3) (4) 由(3)即得. (5) 由(4)及迹的定义即得. 例1 已知 与 相似, 求x,y. 解 因为相似矩阵有相同的特征值, 故A 与B 有相同的特征值 2, y, -1. 根据特征方程根与系数的关系, 有 而 故x=0,y=1. 课堂练习 3.方阵的对角化含义 所谓方阵 可以对角化, 是指 ?Λ相似. 即存在可逆矩