王淑华固体答案五.pptVIP

正好等于面对角线长度的一半， 即 于是从(3)式给出 (4) 根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数 的晶面族才能产生1级反射，因此从(3)(4)两式容易看出，与布 里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为 . 解： (1) 式中 和 分别为参考原子及其最近邻的位矢。 在面心立方格子中，有12个最近邻。 =0,12个最近邻的坐标分别是 5.10 用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，若只计最 近邻的相互作用，试导出其能带表达式。 原点时， 晶体中s态电子的能量表示为 若只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似所得的结果， 当取参考原子为坐标 对于s态电子，原子与各个最近邻的交迭积分皆相等， ，则从(1)式得 令 5.11 证明：在三维晶格中，电子的能量在 空间中具有 ,式中 为任一倒格矢。 周期性： 证明： (1) 波函数 具有如下性质： (2) 代表平移算符。 显然，平面波 可写成 按照布洛赫定理，在周期性势场中运动的电子的波函数 满足(2)式， 为任意倒格矢。 因此，电子波函数应当是所有 的线性叠加，即 (3) 其中 。 对比(1)(3)两式可知 (4) 容易看出， 具有晶格的周期性。 由(4)式还可得到 其中 也为任一倒格矢。 令 ， 则上式可以写成 (5) 由(1)(5)式，有 (6) 即电子波函数在 空间具有平移对称性。 由薛定谔方程 结合(6)式，立即得到 5.12 证明在任何能带中，波矢为k和波矢为－k的状态有相同 的能量，即 这里 代表简约布里渊区中第n个能带的态能量。 证明： 表示，电子波函数用 表示， 则薛定谔方程为 从布洛赫定理知道，波函数 若周期性势场用 代入薛定谔方程，并由 便可得到决定函数 的方程： (1) 取(1)式的共轭复式，得 (2) 若在(1)式中用 代替 ，则有 (3) 比较(2)(3)式可知，除了满足 之外， 显然有 可见，在任一能带 中，波矢为 相同的能量。 和 的两状态具有 5.13 证明：二维正方格子第一布里渊区的角隅处的一个自由 电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大１倍。 对三维简单立方晶格，其相应的倍数是多少？ 证明： 角隅处C和侧边中点处A的 波矢分别为 A C o 空间 中一个边长为1/a的正方形(如图 )。 对边长为a的二维正方格子, 其第一布里渊区是 相应的自由电子能量为 可见， 对于三维简单立方 晶格，若晶格常数为a， 第一布里渊区是一个边 长为1/a的立方体(如图)， 。 A C o 此时 相应的自由电子能量为 可见， 即对简单立方晶格，第一布里渊区角隅 处一个自由电子的能量等于侧面中点处能量的3倍。 5.14 应用紧束缚近似证明，正交晶系的能带可表示为 式中， 对已知晶体可视为常数； 是晶格常数。 证明： (1) 式中 分别代表参考原子及其最近邻原子的位矢， 是位矢为 两原子s态电子波函数的交迭积分。 在紧束缚近似条件下，s态布洛赫电子的能带可表示为 取 ，即以参考原子为坐标原点， 其六个最近邻的坐标分别为 代入(1)式，得 (2) 注意到 和 两原子与原点距离相等， 应有 则对于简单正交晶系， 同理 代入(2)式，并应用尤拉公式进行化简即得 或统一表示为 5.15 设电子能谱仍和自由电子一样，试采用简约能区图形式， 粗略画出简单立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域 内沿 方向的电子的 图。 解： 空间中一个边长为1/a的 简单立方格子，如图所示。 6个最近邻的倒格点，分别位于各邻近区域内，它们对应的倒格 矢分别为 简单立方晶格的第一布里渊区是 取立方体中心的倒格点为原点，它有 在简约能区图式表示法中， 所有的电子波矢 都要变 换到第一布里渊区内。 为简 单计，本题的计算只取原点 o和界面上的点A,B。 这样， 设 可取 方向上所有 可能的值，其对应的能量为 于是，第一区及其邻近区域内沿 方向的E~k图可分别求出 如下： (1)第一布里渊区 据此可作略图，如图中的 曲线。 图中 取作能量的单位。 (2)各邻近区域 当 时，则 作略图如曲线 。 当 时，则 作略图如曲线 。 第五章 能带理论 5.1 一维周期场，电子的波函数 ，电子的波函数为 应当满足布洛赫定理。 若晶格常数为 （1） （2） （3） （ 为某一确定的函数） 试求电子在这些状态的波矢。 解： 由式 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足 由此得 （1） 于是 因此得 所以 （2） 即 得 所以 （3） 令 得 由上知 可知 所以 5.