矩阵特征值与特征向量的计算yjs.pptVIP

算法8.1 幂法 8.3 QR方法 设k充分大时，有 的近似特征值. 的对角线元素就是 为对角阵,则 k A A D 这里需要说明一点:并不是对矩阵A的每一对非对角线非零元素进行一次这样的变换就能得到对角阵.因为在用变换消去 的时候,只有第 i 行,第 j 行,第 i 列,第 j 列元素在变化,如果 或 为零,经变换后又往往不是零了. 因此,Qk=RT1RT2…RTk 的列向量xj (j=1,2,…,n)为A的近似特征向量. 8.2.2 Jacobi方法 的全部特征值. 解 记 A0=A,取i=1,j=2,aij(0)=a12(0)=2,于是有 例 用Jacobi 方法计算对称矩阵 从而有 所以 再取i=2,j=3,aij(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得 以下依次有 例题 从而A的特征值可取为 ?1?2.125825, ?2?8.388761, ?3?4.485401 特征向量为R1TR2T…RkT 例题 为了减少有哪些信誉好的足球投注网站非对角线绝对值最大元素时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改进. 1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3), (2,4),…,(2,n),…, (n-1,n)的顺序, 对每个(i,j)的非零元素aij作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至S(A)?为止. 2.过关Jacobi方法: 取单调下降收敛于零的正数序列??k?,先以?1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过?1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过?1时,再换下一个关卡值?2 ,直到关卡值小于给定的精度? . 8.2.2 Jacobi方法 具体算法和程序见p183，p184。 用Jacobi方法求得的结果精度一般都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好。所以Jacobi方法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一个较好的方法。 它的弱点是计算量大，对原矩阵是稀疏矩阵，旋转变换后不能保持其稀疏的性质。 一般适用于阶数不高的矩阵. 8.2.2 Jacobi方法 　　60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。（实矩阵、非奇异。） 　　理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。 同理可得：Ak相似于A(k=2,3,…),故他们有相同特征根。 QR方法收敛性 QR方法收敛性 QR方法运算量很大，为了减少运算量，常在使用QR方法之前把矩阵A简化为拟上三角矩阵。或称之为海森伯格矩阵(次对角元以下的元素全为零)。 8.3.2 化一般矩阵为拟上三角矩阵 形状为 可以用镜面反射矩阵将A化为Hessenberg形,下面介绍。 定义8.2 为镜面反射矩阵，或Householder变换矩阵。 Houholder矩阵H=H(v)有如下性质： (2) (3) 记S为以v为法向量的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。因为 上式表明向量x-y与v平行，注意到y与x的长度相等，于是x经变换后的象y=Hx 是x关于s对称的向量，如下图所示。 镜面反射变换 x v y x-y 据前面定义和性质， 有下面的定理。 定理8.4 得Hx=y。 证 镜面反射变换 由此可得 镜面反射变换 程序见P187 定理得证。 从而有 镜面反射变换 再利用c的值反过来计算 与平面旋转变换不同的是，镜面反变换可成批的消去向量的非零元. 将任意矩阵A简化为海森伯格矩阵的步骤如下： 镜面反射变换 镜面反射变换 镜面反射变换 镜面反射变换 例：用Householder变换将矩阵A化为上Hessenberg阵 解：求Housholder矩阵 其中 镜面反射变换 镜面反射变换 用Household方法对矩阵A作正交相似变换, 使A相似与上Hessenberg阵，程序见P190 ２、用 Givens变换对上Hessenberg阵作QR分解 具体步骤： 假设 （否则进行下一步） 取旋转矩阵R(1,2) * * 数值分析 * 科大研究生学位课程 数值分析 第8章 矩阵特征值和特征向量的计算 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。 求解线性方程组的迭代法，重要一点是判断迭代法的收敛性；判断方法之一就是看迭代矩阵的特征值的模是否都小于1。 PA(?