聊城大学《固体物理》第四章1.pptVIP

第一节 布洛赫定理 聊城大学物理科学与信息工程学院 例：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为　 f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。所确定的波矢值是否唯一，为什么？ 第一节 布洛赫定理 聊城大学物理科学与信息工程学院 解：据布洛赫定理，在周期性势场中的波函数具有以下特点： （1） 验证： 很显然 所以该波函数的波矢为 在简约布里渊区中 第一节 布洛赫定理 聊城大学物理科学与信息工程学院 （2） （3） 在简约布里渊区中 在简约布里渊区中 第一节 布洛赫定理 聊城大学物理科学与信息工程学院 上述所确定的波矢并不是唯一的。这些波矢加上任一倒格矢都是所需的解。这是因为波矢空间中相差任一倒格矢的两个k值所描述的状态是一样的。 在简约布里渊区中 （4） 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 波函数的性质 波函数满足以下正交归一化条件： 0 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 狄拉克符号 右矢 左矢 则波函数正交归一化条件： 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 矩阵元 证明： 0 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 本节主要内容： 一、一维弱周期场的解 二、一维简并微扰的计算 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 通过一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型的讨论，可以了解在周期场中运动的电子本征态的一些最基本的特点。 一、一维弱周期场的解（非简并微扰计算） 1、模型： 1）金属晶体中，原子实对价电子的束缚较弱，价电子的行为与自由电子相近。 2）假定周期场起伏较小， 3）作为零级近似，用势能的平均 值V0代替V(x)，把周期性起伏△V=V(x)-V0作为微扰来处理。 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 一维晶格中电子的波动方程为： 其中V(x)是晶格的周期势。 (a为晶格常量) 由布洛赫定理知，波函数为 ，具有指数的形式，因此为了研究方便将周期势V(x)化成指数函数有利于问题的求解。将V(x) 展成傅立叶级数： 2、计算： 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 根据势场的周期性λn 必须满足 所以 由上式可以得知 将n=0项分离出来 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 为了研究方便，将哈密顿量进行分离： 零级近似的波动方程为： 上述波动方程的解就是在平均势场V0中自由电子的解。 1）零级近似下电子的能量和波函数 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 上式中L=Na，为一维晶体的长度，N为原胞的数目，a为晶格常数。根据玻恩-卡曼条件，可以得到k的取值： l=整数 并且波函数满足以下正交归一化条件： 证明： 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 计入微扰△V=V(x)-V0后，电子的能量和波函数可以写成： 按照一般的微扰理论，本征能量值的一级和二级修正分别为： 2）微扰下电子的能量和波函数 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 波函数的一级修正为： 又 一级能量修正： 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 都需计算矩阵元 由于k 和k’两态的正交关系，得到： 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 按照原胞划分，上式可以化为： 引入积分变量： 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 讨论： 若（1）k’-k =2nπ/a，即k’和k 相差2π/a的整数倍 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 若（2）k’-k ≠2nπ/a， 而上式中的分子 所以 即 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 计入微扰后: 周期为a的函数 （布洛赫函数） 即微扰后的波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积。 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 讨论：电子波函数和本征能量值的意义 1）：电子波函数的意义 第二节 一维周期势场近自由电子近似 聊城大学物理科学与信息工程学院 上式右端第一部分为前进的平面波，第二部分为电子在行进过程中遭受到起伏势场散射作用所产生的散射波，各散射波振幅为： 散射波的波矢为 当 时， 散射波的振幅