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103二阶常系数线性差分方程
§10.3 二阶常系数线性差分方程 一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解和通解 三、n 阶常系数线性差分方程 一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解和通解 三、n 阶常系数线性差分方程 二阶常系数线性差分方程的一般形式为 方程 的对应齐次方程为 代入方程后, 有 特征方程的解称为特征根或特征值. 方程 称为方程 或 的特征方程, 1. 特征方程有两个相异实根 方程 有两个相异实根 于是方程 有两个特解 根据二次代数方程 解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程 的通解. 且由 从而得到方程 的通解 例1 解 特征方程为 解得两个相异实根 于是, 所给方程的通解为 2. 特征方程有二重根 于是方程 有一个特解 方程 有二重根 可验证方程 有另一特解 且由 从而得到方程 的通解 例2 解 特征方程为 解得特征根为 于是, 所给方程的通解为 3. 特征方程有两个共轭复根 通过直接验证可知, 其中 方程 有两个共轭复根 方程 有两个特解 所给方程 的通解可表示为 例3 解 特征方程为 解得特征根 因此 所给方程的通解为 方程 的特解试解的设定方法参照下表 例4 解 由例1, 对应齐次方程的通解为 代入方程, 有 比较系数，解得 所以, 所给方程的特解为 从而得到所给方程的通解为 例5 解 由例2, 对应齐次方程的通解为 设所给非齐次方程的特解 代入方程后, 得 解得 有 解得 因此，方程满足条件的特解为 从而得到所给方程的通解 例6 解 对应齐次方程的特征方程为 解得 所以对应齐次方程的通解为 设所给方程的特解为 代入方程得 比较同类项系数, 得 所以 从而得所给方程的通解为
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