§153定积分的概念.doc

1.5.3定积分的概念 一：教学目标　 知识与技能目标　 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 过程与方法 借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念； 情感态度与价值观 二：教学重难点　　 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点　定积分的概念、定积分的几何意义 三：教学目标： 在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。 说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：等分区间； ②近似代替：取点； ③求和：； ④取极限： （3）曲边图形面积：；变速运动路程； 变力做功 2．定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。 说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号． 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。 考察和式 不妨设 于是和式即为 阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积） 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 （定积分的线性性质）性质4 （定积分对积分区间的可加性） 性质5 若，则 推论1：， 推论2： 性质6设为在上的最大值、最小值，则 性质7（中值定理）若，则至少有一，使. 证：由性质6知，，依介值定理，必有， 使，即。 说明： ①推广： ②推广: ③性质解释： 例1．计算定积分 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。 即： 思考：若改为计算定积分呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 练习 计算下列定积分 1． 解： 2． 解： 例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以= 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积. 四：课堂小结 定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 五：教学后记 （1）定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误 o x y 2 性质1 1 性质4 O D C B A