习题9解答.doc

第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：； (2) 由抛物面，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体 ； (2) 所属章节：难度： 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) ，其中D为； (2) ，其中D为 ： ； (2) 所属章节：难度： 3．一带薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为，且在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q： 所属章节：难度： 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 ： 所属章节：难度： 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 与，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域； (2) 与，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1； (3) 与，其中D是任一平面有界闭区域； (4) 与，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1； D内部，，所以I1I2； (2) 在区域D内部，，故，所以 I1I2；？ (3) 由于，所以I1I2； (4) 在区域D内部，，故，所以I1I2 所属章节：难度： 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 的面积为32，在其中，而等号不恒成立，故； (2) 由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故； (3) 由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将改为，则区域面积为200，结论为 (4) 由于的面积为，在其中，而等号不恒成立，故． 所属章节：难度： 7．设f(x，y)是连续函数，试求极限： ． 所属章节：难度： 8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明： (1) 若f(x，y)不恒为零，则； (2) 若，则f(x，y)≡0 (1) 若f(x，y)不恒为零，则，，利用连续函数的保号性，存在的一个邻域，在其上恒有，于是，而，所以 ； (2) 若f(x，y)不恒为零，，矛盾，故f(x，y)≡0所属章节：难度： 9．计算下列二重积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 所属章节：难度： 10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分： (1) D由曲线y=lnx，直线x=2及轴所围成；(2) D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成； (3) D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成； (4) D由曲线y=x3，y=x所围成； (5) D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成 ； (2) ； (3) ； (4) ； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成D由曲线所围成； (5) 所属章节：难度： 11．计算下列二重积分： (1) ，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成； (2) ，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域； (3) ，D由抛物线和y =x2围成； (4) ，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成； (5) ，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 所属章节：难度： 12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) (6) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 所属章节：难度： 13．计算下列二次积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) (6) 解答：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 所属章节：难度： 14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) (1) 设，则 ； (2) ； (3) 积分区域对称被积函数关于y的奇； (4) ，则 ． 所属章节：难度： 15．利用极坐标化二重积分为二次积分，其中积分区域D为： (1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) ：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 所属章节：难度： 16．利用极坐标计算下列二重积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) (6) ，D：第一象限中由圆及直线所围成(1) ； (2) ； (3) ； (4)(5) ； (6) ． 所属章节：难度： 17．设r，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； ：(1) ；