反比例函数与几何综合(同步).docx

模块一 反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为模块二反比例函数与面积的综合1.若所求图形面积是规则图形，则可以按照相应图形的面积公式直接计算2.若所求图形面积是不规则图形，则采用割补法3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数的几何意义模块三反比例函数与其他几何问题1.反比例函数与等腰三角形（1）.涉及一般等腰三角形存在性的问题，注意需要分类讨论，（2）.如果有等腰直角三角形或者等边三角形，注意考虑它的特殊性质2.利用k的几何意义进行面积转化（1）.如图直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低（2）.如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。3.k的几何意义与双曲线的对称性（1）.如图一，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。（2）.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，，因此可以将的面积转化为梯形的面积一．反比例函数的几何意义1．利用k的几何意义求参数的数值或比较参数大小如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，作轴于点，矩形的面积为9，则该反比例函数的解析式为【练一练】反比例函数的图像如图所示，点是该函数图像上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为（）A. B. C. D. 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.如图，正比例函数和()的图像与反比例函数()的图像分别相交于点和点．若和的面积分别为和，则与的关系是（）A． B．= C． D．不能确定【练一练】在函数()的图像上取三点、、，由这三点分别向轴、轴作垂线，设矩形、、的面积分别为、、，试比较三者大小.【解析】设点的坐标为(，)，因为点在双曲线上，所以，即.因为在第一象限内，所以，同理可得.由此我们可以得到一个结论：在反比例函数()中，具有矩形面积的不变性，即.在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即由上题结论可推得： 梯形面积与三角形面积的不变性：【答案】2.反比例函数与方程的思想已知点在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是对角线的中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标.【解析】方程的思想无处不在，涉及到函数问题的时候，主要是通过等量关系去建立方程，本题方法不唯一【答案】点(，)在函数的图像上，.又也在函数的图像上，故设点的坐标为(，).过点作轴于，则.又是对角线的中点，.故点的纵坐标为，代入中，得点坐标为 (，).因此.由，得，.即有.解得.而，故.则点坐标为 (，).二．反比例函数与面积的综合1.一般面积问题在平面直角坐标系中，函数(，常数)的图象经过点(1，2)，(，)，()，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为2，求点的坐标．【练一练】如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求的面积．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若，则=【练一练】如图，在反比例函数()的图象上，有点，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，求．【练一练】已知是反比例函数图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数(，)的图像上，点(，)为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为．⑴求点的坐标和的值；⑵当时，求点坐标；⑶写出关于的函数关系式．【练一练】如图，反比例函数的图象过矩形的顶点，、分别在轴、轴的正半轴上，．（1）设矩形的对角线交于点，求出点的坐标；（2）若直线平分矩形面积，求的值．2.利用k的几何意义进行面积转化如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为，则的值为．两个反比例函数和在第一象限