33课件.ppt

§3.3 解对初值的连续性和可微性 /Continuous and differentiable dependence of the solutions/  一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。 例 单参数曲线族 R是常数，c是参数。 x y o 显然， 是曲线族 的包络。 一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。 二 求奇解（包络线）的方法 C-判别曲线法 P-判别曲线法 设一阶方程 的通积分为 1 C-判别曲线法 结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组 消去 C 而得到的曲线中。 设由 能确定出曲线为 则 对参数 C 求导数 从而得到恒等式 当 至少有一个不为零时 有 或 这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C),y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。 注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。 例1 求直线族 的包络，这里 是参数，p 是常数。 解： 对参数 求导数 联立 相加，得 ，经检验，其是所求包络线。 x y o p 例2 求直线族 的包络，这里 c 是参数。 解： 对参数 c 求导数 联立 得 从 得到 从 得到 因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。 x y o 2 p-判别曲线 结论：方程 的奇解包含在下列方程组 消去 p 而得到的曲线中。 注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。 * ? 解对初值的连续性 ? 解对初值的可微性 本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。 内容提要 §3.3 Continuity differentiability 3.3.1 解对初值的对称性定理 设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件， 是初值问题 的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式 §3.3 Continuity differentiability 3.3.2解对初值的连续依赖性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件， 是初值问题 的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当 时，方程满足条件 的解 在区间 也有定义，并且 §3.3 Continuity differentiability 引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足 利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式 其中 为所考虑区间内的某一值。 证明 设 在区间 均有定义，令 不妨设 因此，有 §3.3 Continuity differentiability 则 于是 因此，在区间 [a,b] 上 为减函数，有 §3.3 Continuity differentiability 对于区间 则 并且已知它有解 类似以上推导过程，令 注意到 因此 两边取平方根，得 §3.3 Continuity differentiability 解对初值的连续依赖性定理的证明 （一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域 因为，积分曲线段 是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使