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* * 18.7 Stokes公式 环量与旋度 一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 证明 如图 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 1 根椐格林公式 平面有向曲线 2 空间有向曲线 同理可证 故有结论成立. Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 二、简单的应用 解1 按斯托克斯公式, 有 解2 又按斯托克斯公式, 有 解 则 即 应用Stokes公式：可将Ⅱ型空间曲线积分化为二种情况计算（ⅰ）化为Ⅱ型曲面积分（P232例4.7.1) （ⅱ）化为Ⅰ型曲面积分（P233例4.7.2) 应用步骤： （ⅰ）选定∑（被Γ 所围的部分）并由Γ 的方向指明∑ 的侧向 （ⅱ）利用Stokes公式时，可将Ⅱ型空间曲线积分化为化为两种曲面积分，一般以计算较简便的为宜。 定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价 在G内与路径无关 2沿G内任意闭曲线L的线积分 3在G内恒成立下列条件 三 空间曲线积分与路径无关的条件 4被积表达式是某三元函数u的全微分，即 其中 , 通 常取折线路径求u用下列公式计算 这时原函数u可用下列公式求出 例3 证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值 解 故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z) 所以 三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量的定义: 利用stokes公式, 有 2. 旋度的定义: 斯托克斯公式的又一种形式 其中 斯托克斯公式的向量形式 其中 Stokes公式的物理解释: 例3 求下列向量场的旋度 解 解 解 由力学知道点 的线速度为 观察旋度 由此可看出旋度与旋转角速度的关系. 四、小结 斯托克斯公式的物理意义 斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式 练习4.7 Stokes公式 环量与旋度 一、计算，L为曲线，从轴正向往轴负向看L的方向为顺时针的. 解：，方向与轴正向夹钝角,S在面上的投影为，由Stokes公式得 . 二、计算，其中L为平面截立体：的表面所得的截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向. 解：由Stokes公式有 , 再化为第一类曲面积分，S的方向余弦为，因此 三、计算，其中L由沿螺线到点的一段. 解：，因此，积分与路径无关，从而， = . 四、求向量的旋度，并计算此向量沿闭曲线（从z轴正向看去为逆时针方向）的环流量. 解： = .. 向量场沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正向与的侧符合右手法则) 定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则, 函数,,在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 设Σ与平行于轴的直线相交不多于一点, 并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在的投影.且所围区域. (当Σ是面的平面闭区域时) 例 1 计算曲线积分, 其中是平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 例2 计算曲线积分 其中是平面截立方体:, ,的表面所得的截痕,若从 轴的正向看去,取逆时针方向. 取Σ为平面 的上侧被所围成的部分. 向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正向与的侧符合右手法则) 例3 设一刚体绕过原点O的某个轴转动,其角速度,刚体上每一点处的线速度构成一个线速场,则向量 在点处的线速度