建模西安市人口预测模型.docx

一、题目：西安市人口预测问题二、摘要：人口数量是反映一个城市经济、社会的发展和资源的利用的重要指标，准确的把握人口数量，了解其发展动态对于制定城市经济规划和社会发展战略有着深远的意义，在2010年6月12日举行的“大西安总体规划空间发展战略研究国际论坛”上，“大西安”规划讨论稿——《大西安总体规划空间发展战略研究》首次亮相。根据规划讨论稿,10年时间里，西安要建成面积800平方公里、人口1000万以上的国际化大都市。计划至规划期末,形成建设用地1329平方公里、总人口1250万人的规模。在2011年5月6日召开的西安市人口与计划生育领导小组工作会议上，决议在“十二五”期间将西安市人口规模控制在1000万以内，实现统筹解决人口问题新突破。因此认识人口数量的变化规律，作出较准确地预测，是有效控制人口增长的前提。本文采用指数增长模型（马尔萨斯人口模型）、阻滞增长模型（logistic模型）灰色预测模型，根据已查的往年人口数据，预测一下“十二五”末的西安市人口数量。三、关键词：指数增长模型、logistic模型、灰色预测模型，人口数量、人口预测四、问题重述：在2010年6月12日举行的“大西安总体规划空间发展战略研究国际论坛”上，“大西安”规划讨论稿——《大西安总体规划空间发展战略研究》首次亮相。根据规划讨论稿,10年时间里，西安要建成面积800平方公里、人口1000万以上的国际化大都市。计划至规划期末,形成建设用地1329平方公里、总人口1250万人的规模。在2011年5月6日召开的西安市人口与计划生育领导小组工作会议上，决议在“十二五”期间将西安市人口规模控制在1000万以内，实现统筹解决人口问题新突破。五、模型假设：对于人口模型影响人口数量的因素有很多，比如：出生率、死亡率、迁出率、迁入率、环境、国家政策等，对于这些影响因素对人口的影响程度，最终都会体现在人口数量变化上，因此本文不单独考虑影响人口数量的各个因素，而只考虑随着时间的变化，人口的数量在改变，即只考虑人口与时间之间的关系，不考虑其他因素对人口数量的影响。六、分析与建立模型：1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）：（1）假设：人口增长率r是常数（或单位时间内的人口增长量与当时的人口成正比）。（2）模型的建立：记时刻t=0时人口数为，时刻t的人口为x(t)，由于量大，x(t)可视为连续、可微的函数。t到时间段内的人口的增量为：于是x（t）满足微分方程(1)（3）模型求解：解微分方程（1），得（2）（4）模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预测人口，必须对其中的参数进行估计这可以用表中的数据通过拟合得到，将表中所给数据导入matlab中【见附录1.1】并作图1.1。通过表中1952—2009年的数据拟合得：r=(5) 模型的检验：将，r=代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1965—2009年的人口数，见表1—2。表1-2西安实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年(公元)实际人口（万）指数增长模型预测人口（万）误差（%92400.051970435.121978498.10198019851986511.91553.11563.971987574.461988585.851989597.361990608.891991615.481992623.201993630.911994639.451995648.211996654.87从表1—2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改. 2、模型修正（logistic模型）Logistic 模型曲线主要用来描述在环境资源受限制的情况下,人口数量的增长规律。(1)假设：（a）人口增长率为人口的函数（减函数），最简单假定（线性函数），叫做固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量.（2）建立模型：当时，增长率应为0，即=0，于是，代入得：（3）将（3）式代入（1）得：修正的方程为：（4）（3）模型的求解：解方程组（4）得（5）根据方程（4）作出曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律. （4）模型的参数估计：利用表3-1中1952—2009的数据对和拟合得：=, =（5）模型检验：将=, =代入公式（5），求出用logistic模型预测的195