如何用数列极限定义证明数列极限问题.pdfVIP

第 16 卷第4 期 沈 阳 大 学 学 报 Vol 16 ,No . 4 2 0 0 4 年 8 月 J OU RNAL OF SHEN YAN G UN IV ER SI T Y Aug . 2 0 0 4 文章编号 : (2004) 如何用数列极限定义证明数列极限问题 罗 　威 (沈阳化工学院 计算机科学与技术学院 , 辽宁 沈阳　110 142) 摘 　　　要 : 以数列极限为例 ,详细阐述了用极限定义证明极限存在的三种常用的方法 :基本方法 、适当放大 法 、条件放大法 , 以及在应用这些方法时应注意的一些主要问题 ,从而强化对极限概念的理解 · 关 　键 　词 : 数学分析 ;极限;放大法 中图分类号 : O 14 12 　　　文献标识码 : A 极限概念是《数学分析》课中一个重要的概 实质的理解仍然模糊不清 · ε 念 ,是贯穿整个数学分析内容的主线 它是这门课 首先将数列极限 N 定义叙述如下 : · 程的基本推理工具 ,是研究微分学和积分学的必 lim an = a ε 0 , N ∈N + , n N , n →∞ 备工具 在《数学分析》教学中它既是一个重点 ,也 [ 4] · 有 | an - a | ε · 是一个难点 · 由上面定义可以看到, 用定义证明数列极限 极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲 ε 线在某一点处的切线斜率这样两个基本问题[ 1 ] · 存在的关键是 :对 0 , 都能找到一个正整数 ε ε N , 当 n N 时, 有| an - a | 成立 这里的 · ( ) 我国古代数学家刘徽 公元 3 世纪 利用圆内接正 0 , 由证题者自己给出 因此, 关键是找出 N 那 六边形的面积来推算圆面积的方法 割圆术 , · · 就是极限思想在几何上的应用[2 ] 对数列极限的 么, 如何寻找 N 呢 ? 显然, 要寻找的 N , 一定要满 · ε 足当 n N 时, 有| an - a | 成立 而| an - a | 定性描述是通过“无限增大”和“无限趋近”这一朴 ·