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编号 学士学位论文 向量在立体几何中的应用 学生姓名： 艾麦提。热西提 学 号： 20080102005 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2008年级2班 指导教师： 麦麦提明。克热木 完成日期： 年 月 日 中文摘要 立体几何中的基本思想是用代数的方法来研究几何。为了把代数运算引导几何中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。向量代数是立体几何中的应用性最好的量，用向量来证明立体几何中的点，线，面之间的位置关系及其解决度量问题显得明快，简捷和容易的方法。  关键词：向量；方向向量；法向量；点；直线；平面；平行；垂直；夹角。 Quadratic curves of the nature of the midpoint string Abstract The basic idea is solid geometry with algebra approach to studying geometry. In order to put the algebra operations guide geometry, the fundamental way of doing that is to the geometry of the space structure of the system of algebra, quantification. Vector algebra is three-dimensional geometry in application of the best quantity, with vector to prove three-dimensional geometry in points, lines, and relation between the positions of surface and its solving measure problem is lively, simple and easy method. Keywords: vector; Direction vector; Vector method; Point; Straight line; Plane; Parallel; Vertical; Angle. 目 录 1 引言 - 2 - 2 共点线与共线点 - 2 - 2.1共点线问题 - 2 - 2.2共线点问题 - 4 - 2.3共面问题 - 5 - 3 垂直问题 - 6 - 3.1线线垂直 - 6 - 3.2面面垂直 - 8 - 4 平行问题 - 9 - 4.1 线线平行 - 9 - 4.2 线面平行 - 10 - 4.3面面平行 - 11 - 5 度量问题 - 11 - 5.1线线角的求法 - 11 - 5.2线面角的求法 - 12 - 5.3面面角的求法 - 13 - 参考文献 - 15 - 致谢 - 16 - 1 引言 几何中的大多数是用代数的方法来研究，为了把代数运算引导几何中来，最根本的做法就是设法把空间几何结构有系统的代数化，数量化。 立体几何的基本思想也是代数的方法来研究几何。向量是立体几何中应用性最活的量。 2 共点线与共线点 证明共点线与共线点问题是立体几何中的较多证明题之一，用向量来解决共点线与共线点问题显得明快，简捷和容易入手。下面我们介绍向量法来解决共点线与共线点问题的基本思路。 2.1共点线问题 例1平行六面体的四条对角线及思对对棱的中点的连线共八条，试证他们必共点。 证明：如图1，设平行立面体的一组对棱的中点分别为且连线的中的为,其它三组连线的中点分别为. 再设 ，，，则 即： 同理可得： 即 这说明， 四点重合。 最后设 的连线的中点分别为. 则 同理可得 即 。 这说明 点重合，于是命题得证。 从这个例题可以知道，证明共点线问题时 一般采用以下知识： 第一：平行四边形法则以及该法则的结论。 即：（图2） 设， 则 所以 第二：平行六面体法则。（图3） ，， 这是用平行六面体三个棱上的向量来表示它的 对角线向量。但要注意，这四个向量具有同一始点。 欲证三直线 共点，可用以下方法： 在三线上任取三点，去证这三点关于某定点有相同的定位向量。 令其中两线相交，如 交于点,去证点与上的任一的相连而得到的向量与直线上某相连共线，或再令交于点,去证关于某定点有相同的定向量。 2.2共线点问题 例2 【梅涅劳（ Menelaus）定理】 设 分别是