数学命题与创意-A(北京数学基础班)---陶平生.doc

命题与创意 ——数学试题命制的思维境界 （陶平生） 此中有真意，欲辨已忘言 - 晋陶潜 著名数学教育家乔治．波利亚写有一系列名著，如怎样解题，数学的发现--对解题的理解、研究和讲授，数学与猜想，等等，读过之后，我们常常会产生这样的遗憾：为什么他接下来就没有续写一本怎样命题的书呢？也许，这件事本身就是一道无法说透的谜题，或者是一本无字之书吧！就像佛祖如来有意给了唐僧一本无字真经一样，留给人们无限的遐想．这是一个永恒的课题，是一种禅机，正所谓“道可道，非常道”，其中的哲理，或许永远不能穷尽，需要有缘人不停地“参”、不止地“修”，不断地“悟”，以臻完善． 人们常说，教学有法，教无定法，对于命题也是如此，每个人处在不同的环境，站在不同的海拔，面对特定的时空，随时会产生各种各样的想法、问题，如果这些想法和问题是理性的，可能是一闪之念，如电光流云，“情景一失永难摹”，但若及时捕捉到它，就成了命题． 如同绘画构思、艺术设计，诗文创作以及各种科技发明一样，数学命题从素材到成品的过程，也需要命题人的精雕细琢，匠心与创意． 数学中的解题与命题技术，如同武器之中的矛与盾的关系，这里没有“一劳永逸”，它们的永恒活力，就在于不断的开拓、创新与发展． 下面通过若干试题的命制过程，介绍有关命题的一些体会． 一、逆向推演，顺瓜摸藤 例、（年江西高考） 设正整数数列满足：且对任何，都有 ；、求；、求数列的通项． 该题命制方法是：事先想好一个数列，例如，然后对其操作变形折腾，使其适当复杂化：由，此式两边平方，得，两边同除以交叉项， 得到 ，注意 ， 得 ，即：， 再将作局部显示，得到：． 为使形式对称，改写成 ，为了锁定，给出初值． 这样就得到了开初的命题形式． 解：据条件得，，因此在时，有 ，即，得． 因为正整数，所以； 当，由，解得，所以； 今由，猜想 ．以下采用数学归纳法证明，在时已验证，设时已成立，即，则当时，由于 ，得，即 … ，因为当时， ，则，又据得； 由得到，，所以，即当时结论也成立，从而对一切正整数，有． 例：正整数数列满足：， ． 计算 ． 这是为年江西高考压轴题准备的难度提升题，后未采用，于是改为数学竞赛的预赛试题，此题的命制方法与上题类似，只是数列略为复杂些： 事先给定数列：，则有：， 这时， ．显然有，为了锁定数列，给出， 就得到本题的表示形式． 解：先求通项，时，条件化为， … 此条件蕴含，即有，由式两端分别得到， ……， …… 据，，即 ，因此， 或 … 据，，即 ，因此， ……，据，得 当时，式化为， 则，故有 ，即 ，所以 ． 注意到 ， 今证明，一般有 …… 此式对于已成立，设对于成立，考虑情形， 据， ， 即 ， 也即 所以 ． 即 也即 ．由此， ， 所以，．因 为整数，则 ，故由归纳法，式对于任何正整数皆成立，即 ． 再计算 ：注意 ，所以， ． 二、意料之外，情理之中 对于高考试题而言，既要受考试大纲约束，又要受教材约束，并需顾及当年考生实际情况，同时还需回避每年出现在各地的大量考试试题、以及资料题海；要让猜题、押题者感到“只在此山中，云深不知处”，使得试题能够真正考出学生的实际能力，命题时确实具有相当大的难度． 我们知道，三个数成等差数列，其定义是，但在课堂上，要给学生就事论事地复习或练习这种问题，相信谁都不会重视；但是，被认为最不可能出题的地方，往往会成为命题人感到最为保险的地方；如果我们将换成，则“没戏”的地方便立即变成了“有戏”． 例：（年江西高考数学试题）证明以下命题： 、对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列； 、存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数，且成等差数列． 证明：、易知成等差数列，故也成等差数列， 所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列． 【评注】：第一问本来是用于“送分”的，有点像“脑筋急转弯”，用此考一下学生的“灵气”，但实际上考生多数舍近求远，在考场上却偏不会往此处考虑，成功者竟低于百分之一，考完之后便悔之无及，正所谓“早知灯是火，饭熟已多时”； 至于第二问，编题者是借助“不相似的三角形”来掩盖第一问中的“成比例”思想． 、若成等差数列，则有， 即 …… ①，下面采用构造法， 选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式， 由于 因此令 ，可得 … ② 易验证满足①，因此成等差数列， 当时，有且，因此以为边可以构成三角形．其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有： ，据比例性质有： 所以，由此可得，与假设矛盾． 即任两个三角形与互不相似，所以，存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列． 读罢“三国”，我们或许会对“千古一计”的“空城计”之泡制者感到由衷的