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探索法小词典类比类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相 应部分在臬些关系上相似： (1)长方形可与长方体类比。事实上，长方形各边之间的关系与长方体各面 之间的关系相似： 长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直。 长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直。让我们边称为长方形的边界元素，而面称为长方体的边界元素，则前述两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形：每一边界元素恰与另一边界元素平行，而与其余的边界元素垂直。这样，我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形的边与长方体的面)的某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。 (2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成 就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使用含糊不清的， 夸大的，不完全的或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达到数学精确性的 水平。所有各种类比在发现解答方面都可能起作用，所以我们不应当忽略任何 一种。 (3)在求解一个问题时，如果能成功地发现一个此较简单的类比问题，我们 会认为自己运气不错。在第十五节，我们原来的问题是长方体的对角线，它的 较简单的类比问题就是长方形的对角线，这个类比问题引导我们到达原问题的 解答。我们将讨论这种类型的另一个例子。我们需要求解下列问题：求均匀四面体的重心。若不具备积分与物理知识，这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时 代，它是一个严肃的科学问题。因此，如果我们希望用尽可能少的预备知识来 解决它，我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上的对应问题很自 然地就是下面的问题：求一均匀三角形的重心。 现在，我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题来可 能还更容易回答—假定这两个问题能巧妙地联系起来的话。 (4)现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边，而把注意力集中在有关 三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题，我们必须了解一些关 于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然：若一物质系统S由几部分组成，每一部分的重心都位于同一平面上，则该平面也必包含此整个系统S的重心。 对于三角形情况来说，这一原理给出我们所需要的一切。首先，它指出三 角形的重心位于三角形的平面上。于是，我们可以把三角形看成由平行于三角 形某边(图7中边AB)的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每一 个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心，而所有这些中心位于连线CM上， C为与AB边相对的顶点，M为AB的中点(见图7)。 图7 通过三角形中线CM的任何平面包含有三角形中所有平行小条条的重心。由 此得出结论：整个三角形的重心就在这一中线上。但是，根据同一理由它也必 须在其他二条中线上，所以它必须是所有三根中线的公共交点。 我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无关)来证明三根中线交于同一点。 (5)在弄懂了三角形的例子之后，四面体的情况就相当容易了。因为我们 现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题，所以一旦解决这个类 比问题，我们就有了一个可以照着办的模型。在解决我们现在用作模型的类比问题中，我们设想三角形是由平行于其一 边AB的平行小条条所组成的。现在我们设想四面体ABCD也由平行于其一棱AB的 小条条所组成。组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上，即位于连接边AB的中点M与相对顶点C的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接 棱AB的中点M与对棱CD(见图8)的同一平面上；我们不妨将此平面MCD称为四面体 的中面。 图8 在三角形情况下，我们有象MC那样的三根中线，其中每一根都必须包含三 角形的重心。因此，这三根中线必须交于一点，这一点就是重心。在四面体情 况下，我们有象MCD那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面)，其中每 个中面都必定包含四面体的重心。因此，这六个中面必交于一点，这一点就是 重心。 (6)这样，我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了完成这个求解过程， 现在我们需要用纯几何(与力学上的考虑无关)来证明六个中面通过同一点。 当我们解决了均匀三角形的重心问题以后，我们发现，为了完成求解过程， 需要证明三角形的三条中线通过同一点。这个问题可类比于上述问题，但显然 较为简单。在解决四面体这一问题时，我们又可利用较简单的三角形类比问题(这里， 我们假定它已经解决了)。事实上，我们考虑通过从D点出发的三条棱DA，DB，DC的三个中面；每一中面同时也通过对棱的中点(通过DC边的中面经过中点M， 见图8)。现在，这三个中面和△ABC所在平面交于该三角形的三个中线。这三条 中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果)，而这点和D点一样，也是三 中面的公共点。连结这二个公共点