§51力学量随时间的演化.ppt

第五章 力学量随时间的演化与对称性 §5.1 力学量随时间的演化 证明： 但能级E不简并 例 推论2 则体系所有能级都简并，而且简并度为无穷大 证明： （用反证法） 但由题意知 这是相互矛盾的， 改变n可知，所有能级都简并。 下面看简并度是多少。 * 1、守恒量 量子力学中力学量的取值问题与经典不同。 在一个给定的态ψ（一般为力学量的非本征 态）中，力学量的取值有一定的几率分布， 从而有平均值的概念。由于波函数随时间变 化，力学量的平均值也是随时间变化的。我 们下面就研究这个问题。 其随时间的变化可以用对时间求导给出： 利用Schr?dinger方程 利用算符的厄米性质 从而有 故若 则有 即此时，力学量在任何态中的平均值均不随 时间变化。 由此容易证明：此时力学量取值的几率也 不随时间变化。 则有 其中 证明如下： 下面我们看这个几率分布是否随时间变化。 将ak代入 利用含时方程 厄米算符性质 （想一想：为什么？） 可见A的取值几率分布是不随时间变化的。 故A称为守恒量。 按照上述定义，量子力学中的守恒量A是指： 并有两个重要性质: ①平均值不随时间变化 ②测值几率分布不随时间变化 例1 例2 对于自由粒子 例3 中心力场中 因为 而 所以 可见 但是由于 即 此式表明力学量平均值随时间发生变化有两方面的原因: 3.8力学量随时间的变化 守恒律 体系所处的状态 随时间而变化 力学量算符 是时间的显函数，使 随时间变化 1、力学量平均值随时间的变化 （1） 由薛定格方程： 代入（1）： 因 是厄米算符 3.8力学量随时间的变化 守恒律 （2） 利用对易子记号 则 3.8力学量随时间的变化 守恒律 力学量 的平均值 不随时间而变化,则称 为运动积分，或 在运动中守恒。 2、运动积分——力学量守恒的条件 若：力学量算符 不显含时间t，且与哈米顿算符 对易 则有 常量 结论: 即 ， 3.8力学量随时间的变化 守恒律 又 故 自由粒子的动量是运动积分——动量守恒 守恒 例1：自由粒子的动量 不显含时间 3.8力学量随时间的变化 守恒律 哈米顿算符可表示为： 角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米顿算符对易 角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。 角动量守恒定律！ 在球坐标系中算符 等只是 的函数，与时间（r,t）无关，对时间偏微商为0。 例2：粒子在辏力场中运动的角动量 3.8力学量随时间的变化 守恒律 例3：哈米顿算符不显含时间的体系能量 当 不显含t时， 又 即：能量守恒定律！ 空间反演算符也称为宇称算符 3、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称 空间反演： 反演 空间反演算符 反演算符 的本征值 3.8力学量随时间的变化 守恒律 (偶宇称) (奇宇称) 本征值 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。 宇称守恒律： 若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性 即 则 为运动积分，即宇称守恒 3.8力学量随时间的变化 守恒律 Prove： 又 不显含t， 故 为运动积分，亦即宇称守恒 因此, 宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数, 因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。 衰变宇称不守恒！ 3.8力学量随时间的变化 守恒律 2、量子力学中的守恒量与经典守恒量的区别 ①守恒量不一定取确定值 守恒量是否处于某本征态由初始条件确定: a. 若初始时为A的本征态，则体系保持本征态； 本征态对应的量子数称为好量子数 b. 若初始时没有处于 A 的本征态，则以后任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。 ②量子力学各守恒量不一定都可同时取确 定值， 如中心力场中， 因而此时它们同时有确定值0。 除非在同一个守恒量完全集中。 ③守恒量与定态的异同 （1）概念不一样 a. 定态是能量取确定值的状态—能量本征态 b.守恒量是特殊的力学量，要满足一定条件 （2）性质不一样 a.在定态下，一切不含t的力学量，不管是否 守恒量，其平均值、几率分布都不随t改变。 b.守恒量对一切状态，不管是否定态，其平 均值、几率分布都不随t改变。 可见，不管是定态问题还是力学量问题， 都存在力学量的平均值和取值的几率分布