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习题课10 1.定积分与极限： 例1 例3 按定义证明： (二）定积分的可积性 例4 讨论Dirichlet函数 例6 证明： 例7 设f在[a,b]上有界,{an}?[a,b],且 记分割T为T′，T〞，再加上分点 3.定积分的性质 例10 比较定积分 （2）|f|可积时，f2=|f||f|也可积；而f2可积时，|f| 也可积。实际上， 3.变限积分及其性质 例16 设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且 例17 设f∈C[0,+∞),若 例20 设f(x)可导，且f(0)=0, 4.定积分的计算 （1）Newton-Leibnitz公式：设f(x)在[a,b]上连 续，F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数，则 5.广义积分 （一）定义与求值 （二）收敛判别法： Cauchy收敛原理： 例1 求广义积分的值： 例2 讨论下列积分的收敛性 （1） （2）换元积分法 （3）分部积分法 例19 求一下列： 例22 例23 例24 例26 定义 5.1 设函数f定义在无穷区间[a,+∞),且在任 何有 区间[a,A]上可积。如果存在极限 则称此极限J为函数f在[a,+∞)上的无穷限广义 积分，简称无穷限积分，记作 并称无穷限积分 收敛。 定义5.2 设f在[a,b)上定义，在b点左邻域内无界， 且??0(0?b-a) f 在[a,b-?]上可积，并记 如果 无界函数的广义积分， 记作 即 存在，则称此极限为 设函数f定义在(a,b]上，a为f的瑕点，则瑕积分 若c是f在[a,b]内的瑕点（acb)， 条件收敛与绝对收敛： 当 收敛时，则称 绝对收敛。 若 收敛，但 发散， 条件收敛。 则称 定理5.2(比较判别法) 定义在[a,+∞)上的非负函 数f与g在任何有限区间[a,A]上可积，若当x≥a时 有 f(x) ≤g(x) 收敛时， 也收敛； 也发散。 当 发散时, 则当 上述比较判别法有极限形式。 推论5.1 若g(x)0,f(x) ≥0,且 则 （1）当0c+∞时， 同时收敛或同时发散。 （2）当c=0时，且 收敛 ,则 也收敛。 （3）当c=+∞时，且 发散,则 也发散。 推论5.2(柯西判别法) 设函数定义在[a,+∞)上,且 在任何有限区间[a,A]上可积,若 则 收敛； 若 则 发散。 （3）当c=+∞时,取M0,存在x0a,当x≥x0时有 Mg(x)≤f(x) 柯西判别法也有形式。 推论5.3 设f是任何有限区间[a,A]上可积的非负函 数,且 （1）若p1,0≤?+∞,则 收敛。 （2）若p≤1,0 ?≤+∞,则 发散。 定理5.3(Abel) 如果f在[a,+∞)上可积,g在[a,+∞) 上单调有界，则积分 收敛。 定理5.4(Dirichlet) 如果 有界： g单调且当x→+∞时趋于零，则积分 收敛。 * 例2 证明：对[a,b]的任意分割T: a=x0x1…xn-1xn=b 在[xi-1,xi]上存在 而 在[0，1]上的可积性。 对[0，1]的任一分割T，其振幅?I=1,所以 例5 讨论f,f2,|f|三者间可积性的关系。 解： （1）若f(x)在[a,b]上可积，则|f(x)|在[a,b]上 可积，反之不然。 设T为[a,b]的任一分割，f(x),|f(x)|在[xi-1,xi]上的振 幅分别为?i, ?i*, 由于 故 0≤?i*≤ ?i, 于是 反例：函数 （2）若f(x)在[a,b]可积，则f2(x)在[a,b]上可积， 反之不然。 性质3；反例：函数f(x)。 （3）|f(x)|在[a,b]上可积?f2(x)在[a,b]上可积。 ?）显然。 ?）设T为[a,b]的任一分割，|f(x)|，f2(x)在[xi-1,xi] 上的振幅分别为?i, ?i*, 即 例6 设f(x)在[0，2]上有界，它的不连续点是 证明：??0,?0,不连续点 落在 中只有有限个， 其余落在 中,f(x)在 上可积.于是存在 的分割T1,使振幅 的那些区间长度 证明f(x)在[0，2]上可积。 的区间总长度 考虑在内，合成[0，2]的分割T， 把区间 对此分割T， 证明： 对[a,b]的任意分割T，只要||T||?,就有 此时 即得 而 矛盾！ 证明：若f在[a,b]上只有an(n=1,2, …)为间断点， 则f在[a,b]上可积。 证明：设c∈(a,b),f在[a,b]的振幅为?， 则有 例8 证明Schwarz不等式:若f和g在[a,b]上可积,则有 证明：由于f和g在[a,b]上可积,所以f2(x),g2(x),fg 都可积,且对任何t,[f+tg]