2016年中考第一轮复习第15讲《等腰三角形》.doc

第15讲　等腰三角形 考纲要求 命题趋势 1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定． 4．掌握角平分线的性质及判定. 　　等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查. 知识梳理 一、等腰三角形 1．等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形． 3．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)． 二、等边三角形的性质与判定 1．等边三角形的性质 (1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________． 2．等边三角形的判定 (1)____相等的三角形是等边三角形；(2)____相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为___的等腰三角形是等边三角形． 三、线段的垂直平分线 1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________． 2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________． 3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合． 四、角的平分线 1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________． 2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合． 自主测试 1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________． 2．如图，在ABC中，C＝90°，AD平分CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________． 3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________． 4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为(　　) A．8 B．10C．8或10 D．不能确定 考点一、等腰三角形的性质与判定 【例1】已知：点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. (1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC； 解：(1)证明：过点O分别作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC， Rt△OEB≌Rt△OFC， B＝C，从而AB＝AC. (2)证明：过点O分别作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF. 在RtOEB和RtOFC中，OE＝OF，OB＝OC， Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝OCF. 又由OB＝OC知OBC＝OCB， ABC＝ACB，AB＝AC. (3)不一定成立． 当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图． 方法总结 1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等． 2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理． 触类旁通1 如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，AC＝BD. 求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形． 考点二、等边三角形的性质与判定 【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求AEB的大小． (2)如图乙，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转(OAB和OCD不能重叠)，求AEB的大小． 分析：解决等边三角形问题时，要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质．全等是解决这类问题最常见的方法． 解：(1)如图甲． 图甲 DOC和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点， OD＝OC＝OB＝OA， 1＝2＝60°， 4＝5. 又4＋5＝2＝60°， 4＝30°.同理，6＝30°. AEB＝4＋6，AEB＝60°. (2)如图乙． 图乙 DOC和ABO都是等边三角形， OD＝OC，OB＝OA， 1＝2＝60°. 又OD＝OA，OD＝OB，OA＝OC， 4＝5，6＝7. ∵∠