2017年数学中考复习专题(八)三角形.doc

一. 教学目标： （1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。 （2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。 （3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力 二. 教学重点、难点： 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。 三. 知识要点： 知识点1 三角形的边、角关系 ①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°； ⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点3 等腰三角形 等腰三角形的识别： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形； ⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。 知识点4 直角三角形 直角三角形的识别： ①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点5 全等三角形 定义、判定、性质 知识点6 相似三角形 知识点7 锐角三角函数与解直角三角形 例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。 （2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。 分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。 解：（1）分两种情况： ①若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。 ②若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。 因此第三边长为12。 （2）分两种情况： ①若顶角为80°，则另两个内角均为底角分别是50°、50°。 ②若底角为80°，则另两个内角分别是80°、20°。 因此这个三角形的另外两个内角分别是50°、50°或80°、20°。 说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。 例2. 已知：如图，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上的一点，求证：（1）⊿ACE≌⊿BCD，（2）AD＋AE＝DE。 分析：要证⊿ACE≌⊿BCD，已具备AC＝BC，CE＝CD两个条件，还需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD显然能证;要证AD＋AE＝DE，需条件∠DAE＝90°，因为∠BAC＝45°，所以只需证∠CAE＝∠B＝45°，由⊿ACE≌⊿BCD能得证。 证明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD， ∴⊿ACE≌⊿BCD。 （2）∵⊿ACE≌⊿BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。 例3. 已知：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。 分析：将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。 解：∵BC＝BA， ∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。 ∴BD＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等边三角形。∴∠BPD＝60°。 ∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。 ∴DC＝．∴PA＝DC＝。 【变式】若已知点P是等边⊿ABC内的一点，PA＝，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度数吗？请试一试。 例4. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ． （1）观察并猜想