22微积分基本定理(第二课时)教案zhan.doc

§1.6.2微积分基本定理 【学情分析】： 在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象． 【教学目标】： （1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系; （2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系； （3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。 【教学重点】： （1）运用基本定理求定积分 （2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系 【教学难点】： （1）求函数的一个原函数 （2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系 【教学突破点】： 合理利用复合函数的求导法则来求原函数 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、 提 出 问 题 师：上一节课，我们学习微积分基本定理（投影微积分基本定理），并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分．下面我们看看试试计算这些定积分，看看你能发现什么结论？ 生：计算，讨论． 例题1：计算下列定积分： （1）；（2） 解：（1）∵ ∴ （2）∵时， ∴ 师（总结）：运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足的函数F(x)． （课本P60）例题2：计算下列定积分： （1）；（2）；（3） 解：∵ ∴， ， 温故而知新 (2)题主要是学生容易忽视定义域，误为 导致无法计算． 二、 探 索 新 知 生：（可能会回答） 师：这是一个定积分的性质：（其中）． 师：试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论． 生：定积分的值可以是正值、负值或0． 生：（书本P60）(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，等于曲边梯形的面积； （2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负值，等于曲边梯形的面积的相反数． 师：根据你们的结论，我们可以进一步补充课本P51页的定积分的几何意义： 一般情况下（如下图），定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号． 师：如果在区间上恒为正，则定积分，为面积值；但是，不能推出在区间上恒为正． 师：由上图我们还可以等出一个结论： 若在区间上不是恒为非负的，则函数与x轴以及直线所围的图形的面积为．例如上图中， 例题3：已知在上连续，若是奇函数，则 ．并证明你的结论。 附证明：（1）∵在上连续,是奇函数， ∴， 设，则有, ∴（C为常数） 令，则有，∴ ∴ ∴ ∴原式得证 师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质． 教师利用函数图象引导学生归纳 给出一般结论 着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：令位于x轴上方的曲边梯形的面积取正值，位于x轴下方的曲边梯形的面积取负值，这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数和 显示出数形结合的威力 复合函数的求导法则的逆运用 容易误为 再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数F(x) 三：实 践 新 知 练习：若是偶函数，则． 证明：∵在上连续,是偶函数， ∴， 设，则有, ∴（C为常数） 令，则有，∴ ∴ ∴原式得证 巩固 新知 练习： P62习题1. 6 B组第1题（1）（3） P62习题1. 6 B组第2题（1）（3） 总结归纳 定积分的几何意义： 一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号． 布置作业 P62习题1. 6 B组第1题（2）（4） P62习题1. 6 B组第2题（2）（4） P62习题1. 6 B组第3题 设计反思 对于例题3，在证明某些关键的地方要提示，也可以采用老师讲授的方法，再进行模仿练习。如果实在困难，略去严格的数学证明也未尝不可。 （基础题） 的值是（ ） (A)0 (B) (C)2 (D)4 答案：C 解释： 曲线与坐标轴所围成的面积是（ ） (A)2 (B)3 (C) (D)4 答案：B 解释： 与x轴所围成图形的面积为 答案：4 解释： 设，求。 解释： （难题） 求 解释：由图形可知 ∴ 设为上以为周期的连续函数，证明对任何实数，有 证明：∵为上以为周期的连续函数 ∴ 设，则有 ∴（C为常数） ∴ 令，则 令，则 ∴ ∴ ∴原式等证。 1