关于Finsler流形的调和映射--《浙江大学》2011年博士论文.doc

关于Finsler流形的调和映射--《浙江大学》2011年博士论文 Finsler几何就是度量没有二次型限制的黎曼几何([12]).早在1854年,B.Riemann提出后来所称的Finsler几何的概念,但他把具有二次型表示的度量(即通常所说的黎曼度量)作为自己的研究重点.1918年,P. Finsler在他的博士学位论文中研究了一般度量情形下的曲线与曲面([17]),Finsler几何由此得名.20世纪90年代以来,在陈省身先生的大力倡导下,Finsler几何获得了蓬勃的发展,把黎曼几何中许多重要的概念和结果推广到了Finsler几何中,比如体积比较定理([47]),调和映射([33],[45],[20]),子流形几何,Einstein度量([2], [10]), Gauss-Bonnet定理([7]),预紧性定理([46])等,并被广泛应用于物理学、生物学、信息与控制论和心理学中([1],[3],[5],[9]). 调和映射是微分几何和理论物理中非常重要的学科分支,是测地线、极小子流形、调和函数等概念的自然推广.文献[32]提出了Finsler几何中的一些未解决的问题,其中之一就是Finsler流形间的调和映射.之后,许多学者对它作了大量的研究工作,包括第一、第二变分的计算,稳定性([33],[45],[20],[44]),存在性([34])和正则性([38],[36])等.文献[39]和[19]还研究了复Finsler流形间的调和映射. 本文主要研究实Finsler流形间的调和映射,主要内容分为四部分,分别对应于四章.在第一章中,我们把黎曼流形上焦点的概念推广到了Finsler流形上,并给出了Finsler流形间的映射的一个刚性定理.第二章研究了Finsler流形上能量极小映射的正则性.第三章讨论了Finsler流形上调和映射与极小子流形的关系.第四章研究了具有一般形式的调和映射(即H-调和映射)的性质. 0.1刚性定理 首先介绍Finsler流形间调和映射的定义和主要结果.设Φ:(M,F)→(M,F)是Finsler流形间的一个非蜕化光滑映射,即ker(dΦ)= 0.利用射影球丛SM诱导的体积元dVsM定义φ的能量为其中G-1表示n-1维单位欧氏球面Sn-1的体积,dVSM =Ωdτ∧dx,设Φt,t∈(—ε,ε)是φ的一个光滑变分,满足Φ0=Φ,Φt|(?)M=Φ|(?)M,其变分向量场为V=(?)|t-0.那末,能量泛函的第一变分为其中Gκ和Gα分别表示(M,F)和(M,户)的测地系数.称能量泛函的临界点为调和映射.由第一变分公式可知φ是调和的当且仅当对任意β有特别地,如果丁(φ)=0,则称φ为强调和映射.如果(?)(φ)=0,则称φ为全测地的.全测地映射的等价条件是b(?)dφ=0.如果目标流形是黎曼的,则φ非蜕化的条件是不需要的.如果M和M都是黎曼流形,则调和性和强调和性是一致的.如果调和映射φ的第二变分恒非负,则称其为稳定的.([45,20]) Finsler流形间调和映射的刚性定理最早是运用内蕴平均变分法来研究的.比如,不存在从紧致Finsler流形到一类所谓的超强不稳定流形(包括n维单位欧氏球面,n2)的非常值稳定的调和映射([44],[45]),也不存在从n维单位欧氏球面(n2)到任意Finsler流形的非蜕化稳定的调和映射([20]).文献[22]中,作者对Finsler流形间的非蜕化映射运用Bochner技巧,得到了一类刚性定理.文献[54]中,作者通过在无焦点黎曼流形上构造凸函数,给出了得到黎曼流形间调和映射的刚性定理的另一种方法.无焦点黎曼流形包含具有非正截面曲率的黎曼流形. 我们首先把黎曼流形上焦点的概念([40])推广到了Finsler流形上.设k(s) , s∈(—∈,∈)和c(t),t∈[0,1]是Finsler流形(M,F)上的两条测地线,且在p=c(0)处关于gc(o)正交.如果向量场J(t)是测地线c(t)的一个测地变分的变分向量场,且每条变分曲线都在初始点与k(s)关于gTs(0)正交,则称J(t)是k-Jacobi场,其中Ts(0)是沿κ(s)的线性平行向量场,且满足T0(0)=c(0).沿c(t)的Jacobi场J(t)是k-Jacobi场当且仅当满足下述初始条件gc(0)(DcJ(0),J(0))= 0, gc(0)(J(0),c(0))= 0.如果存在一个沿测地线c(t)的非平凡k-Jacobi场,且在c(t0)处消失,则称c(t0)是测地线κ(s)沿测地线c(t)的焦点.如果M上所有测地线都没有焦点,则称其为无焦点Finsler流形.无焦点Finsler流形具有下述性质：命题0.1.设(M,F)是向前完备的Finsler流形. (i)(M,F)具有非正