《高中数学解题思维》).doc

《高中数学解题思维与思想》 数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性：根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案。 二、数学思维的反思性：提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性：考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性：对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。什么”转变，从而培养他们的思维能力。 一、高中数学解题思维策略 第一讲 数学思维的变通性 一、概念：数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察：心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征， 对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。 例如，求和. 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于问题很快就解决了。 （2）善于联想：联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。 例如，解方程组. 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为-3。 由此联想到韦达定理，x、y是一元二次方程 的两个根， 所以或. 可见，联想可使问题变得简单。 （3）善于将问题进行转化 数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 例如，已知,, 求证、、三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为： 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。 二、思维训练实例 ①观察能力的训练：虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。 例1：已知a, b, c, d都是实数，求证+ ≥ 。左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 证明：不妨设A(a, b), B(c, d) 如图所示， 则︱AB︱=。, ︱OB︱= 。+ ≥ 。x2+3x, ∵y2≥0, ∴ - x2 + 3x≥0, ∴0≤x≤2, 又x2+y2 = x2 - x2 + 3x = - (x-3)2 + , 当x=2时，x2+y2有最大值，最大值为4。 思路分析：要求x2+y2的最大值，将x2+y2变为一元二次函数f(x)= - (x-3)2 + , 然后求极值点的x值，联系到y2≥0，这一条件， 既快又准地求出最大值。 上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。 思维障碍：大部分学生的作法如下：由 3x2+2y2 = 6x得y2= - x2+3x, ∴x2+y2 = x2 - x2 + 3x = - (x-3)2 + ,∴当=3时，x2+y2取最大值为 。 例1：已知二次函数 满足关系， 试比较与的大小。 思路分析：由已知条件可知，在与左右 等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称， 又由已知条件知它的开口向上， 所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。 解：由，知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线 它与距离越近的点，函数值越小。 思维障碍：有些同学对比较与的大小，只想到求出它们的值。