中考专题复习之相似三角形.doc

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中考专题复习之相似三角形

中考专题复习之相似三角形(一) 知识考点: 本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用,这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。 精典例题: 【例1】如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,过O作AO的垂线交AB于D。求证:△OBD∽△CBO。 分析:此题不易得到边的比例关系,但O点是三角形的角平分线的交点,有多对相等的角,故宜从角相等方面去考虑。 由角平分线及三角形内角和定理知:∠1+∠2+∠DAO=900,再由AO⊥DO可得∠5=∠1+∠2,而∠5=∠3+∠4,从而∠1+∠2=∠3+∠4,由∠1=∠3可得∠2=∠4,于是结论得证。 变式1:已知如图,在△ABC中,AD=AE,AO⊥DE于O,DE交AB于D,交AC于E,BO平分∠ABC。求证:。 变式2:已知如图(同变式1图),在△ABC中,O为两内角平分线的交点,过点O作直线交AB于D,交AC于E,且AD=AE。 求证:(1)△BDO∽△OEC;(2)。 【例2】如图,在△ABC中,∠BAC=900,AD⊥BC于D,E为AC中点,DE交BA的延长线于F。求证:AB∶AC=BF∶DF。 分析:由于△ABC和△FBD一个是直角三角形,一个是钝角三角形,不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论,势必要找“过渡”的线段或线段比,这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。 证明:∵AB⊥AC,AD⊥BC ∴Rt△ABD∽Rt△CAD,∠DAC=∠B ∴………① 又∵AD⊥BC,E为AC中点 ∴DE=AE,∠DAE=∠ADE ∴∠B=∠ADE 又∵∠F=∠F ∴△FAD∽△FDB ∴………② 由①②得 变式:本题条件、结论不变,而只改变图形的位置时,如下图所示,本题又该怎样证明呢? 【例3】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE⊥CD于E,且BC=BD,对角线AC、BD相交于G,AC、BE相交于F。求证:。 分析:由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上,不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线,于是连结FD得FD=FC,再证△FDG∽△FAD即可。 探索与创新: 【问题一】如图,∠ACB=∠ADC=900,AC=,AD=2。问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似? 略解:∵AC=,AD=2 ∴CD= 要使这两个直角三角形相似,有两种情况: (1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有 ∴ (2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有 ∴ 故当AB的长为3或时,这两个直角三角形相似。 【问题二】已知如图,正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上,设BQ=,是否存在这样的实数,使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。 略解:假设存在满足条件的实数,则在正方形ABCD中,∠D=∠C=900,由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得: 或 由此解得:CQ=1或CQ=,从而或 故当或时,△ADP与△QCP。 跟踪训练: 一、填空题: 1、如图,在△ABC中,P是边AB上一点,连结CP,使△ACP∽△ABC的条件是 。 2、在直角坐标系中,已知A(-3,0)、B(0,-4)、C(0,1),过C点作直线交轴于D,使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线有 条。 3、如图,在△ABC中,∠C=900,AC=8,CB=6,在斜边AB上取一点M,使MB=CB,过M作MN⊥AB交AC于N,则MN= 。 4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的载法有 种。 5、如图,在锐角△ABC中,BD⊥AC,DE⊥BC,AB=14,AD=4,BE∶EC=5∶1,则CD= 。 二、选择题: 1、下面两个三角形一定相似的是( ) A、两个等腰三角形 B、两个直角三角形 C、两个钝角三角形 D、两个等边三角形 2、如图,点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点,EA分别交CD、BD的延长线于点F、G,则图中相似三角形共有( ) A、3对 B、4对 C、5对

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