中考专题复习之正方形.doc

中考专题复习之正方形 知识考点： 理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。 精典例题： 【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H。求证：AH＝AD。 分析：因为A是DG的中点，故在△DGH中，若AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH为直角三角形（证明略）。 评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。 【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ。 分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。 变式：若条件改为PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你还能得到哪些结论？ 探索与创新： 【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。 分析：对于图1通过全等三角形证明OE＝OF，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。 结论：（2）的结论“OE＝OF”仍然成立。 提示：只须证明△AOF≌△BOE即可。 评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。 【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。 探究：设A、P两点间的距离为。 （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。 分析：（1）实验猜测：PQ＝PB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。 略解：（1）如图1，易证BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝1800－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ ∴PB＝PD＝PQ （2）如图2，易证△BOP≌△PEQ ∴QE＝PO＝AO－AP＝ ∴ ∴（0≤＜） （3）△PCQ可能成为等腰三角形。 ①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时＝0； ②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）。此时，QN＝PM＝，CN＝CP＝，所以CQ＝QN－CN＝，当时，解得。 评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。 跟踪训练： 一、填空题： 1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。 2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE＝AC，AE与CD边相交于F点，那么CE∶FC＝ 。 3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离是 。 4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。 二、选择题： 1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成段，以每一段为对角线作正方形，设这个小正方形的周长和为，正方形ABCD的周长为，则与的关系式是 。 A、＜ B、＞ C、＝ D、与无关 2、如图，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，则下列关系式：①∠1∶∠4